Soluci¨®n al problema del piano... con sorpresa musical
El int¨¦rprete del piano gigantesca tocar¨¢ en total 2.000 veces la nota Do y nunca pulsar¨¢ el Mi, ni el Sol ni el La
Ya hay ganadora del s¨¦ptimo desaf¨ªo que organiza EL PA¨ªS en el primer centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola. Esta semana, la agraciada con una biblioteca matem¨¢tica como la que se ofrece el domingo con EL PA?S ha sido Alba Gonz¨¢lez Parra, de Sevilla, que ha dado la respuesta correcta y adem¨¢s -aunque no era imprescindible para entrar en el sorteo- ha hecho una demostraci¨®n impecable.
En esta ocasi¨®n se recibieron alrededor de 1.700 respuestas dentro del plazo previsto -aproximadamente las mismas que la semana pasada. Alrededor del 93% de los lectores daba la respuesta correcta y ha entrado en sorteo. El 50% del total ha dado una demostraci¨®n -aunque no se exig¨ªa literalmente en el enunciado-, el 18% ha usado un programa inform¨¢tico -que en este caso estrictamente hablando es una demostraci¨®n- y el 25% ha dado la respuesta correcta sin m¨¢s explicaciones. Este domingo, el libro que se entrega con EL PA?S, a un precio de 9,95 euros, es Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes, de Jordi Deulofeu.
Recordemos el enunciado: part¨ªamos de un piano gigantesco en el que toc¨¢bamos el primer Do, luego la siguiente nota (el Re), a continuaci¨®n salt¨¢bamos una y toc¨¢bamos el Fa, luego salt¨¢bamos dos y toc¨¢bamos el Si, luego salt¨¢bamos tres... y as¨ª hasta pulsar 7.000 teclas. Se preguntaba: ?Cu¨¢ntas veces tocaremos el Do? y ?Habr¨¢ alguna nota que no suene nunca en esta largu¨ªsima sinf¨®n¨ªa?
La soluci¨®n correcta es que el int¨¦rprete del piano gigantesco tocar¨¢ en su concierto de 7.000 teclas la nota Do 2.000 veces y nunca pulsar¨¢ el Mi, ni el Sol ni el La.
Mucha gente ha dado demostraciones, bien en lenguaje parecido al del profesor Garay (ver v¨ªdeo de la derecha) observando que saltar 7, 14, 21... teclas no tiene ning¨²n efecto sobre la nota tocada, bien usando el lenguaje formal de congruencias. En ocasiones, usando la f¨®rmula 1+2+...+n=n(n+1)/2, han calculado con exactitud el lugar que ocupa cada tecla tocada, aunque esto no era necesario. Pero otros lectores han seguido caminos distintos (es posible que esto incluya a muchos de los que se han limitado a dar la respuesta).
Por un lado est¨¢n quienes han hecho la cuenta con un ordenador (usando Excel, Basic, C++,...). Estrictamente hablando, y dado que se trata de una situaci¨®n finita, esto es una demostraci¨®n, pero invitamos a quienes han optado por este camino a intentar entender el por qu¨¦ del resultado. Sus c¨¢lculos son un excelente punto de partida para hacerlo.
Luego est¨¢n quienes simplemente han observado que el ciclo se repet¨ªa en las 21 (o 28, o 35, o...) primeras teclas, y de ah¨ª han deducido directamente que esta era siempre la situaci¨®n y han llegado a la respuesta. En este caso acertaron, pero hay que ser consciente de que no se puede deducir que algo sea cierto en general porque sea cierto en muchos casos. Por no salirnos de las matem¨¢ticas, supongamos que queremos probar que, para cualquier entero positivo n, el n¨²mero p(n)=n^2-n+41 (aqu¨ª n^2 representa n al cuadrado) es primo. ?ste es un ejemplo cl¨¢sico, debido a Euler, y si vamos probando n=1, 2, 3, 4,..., 40, obtendremos p(n)=41, 43, 47, 53,..., 1601, que son todos primos. Pero al llegar a n=41 tendremos p(41)=41^2, que claramente no lo es. Un ejemplo menos cl¨¢sico, pero quiz¨¢s m¨¢s espectacular, se obtiene al calcular el m¨¢ximo com¨²n divisor de n^5-5 y (n+1)^5-5. Resulta ser 1 para n desde 1 hasta 1.435.389 (?muchos casos!), pero para n=1.435.390 el m¨¢ximo com¨²n divisor es 1.968.751.
Recomendamos a todos nuestros lectores seguir hasta el final la explicaci¨®n de Jos¨¦ Garay en el v¨ªdeo de la derecha para entender bien el problema... y para disfrutar con una sorpresa musical que nos ha preparado el profesor.
Como la semana pasada, no nos resistimos a publicar la soluci¨®n, particularmente ingeniosa de una lectora. Carmen del R¨ªo ha reformulado el problema y ha convertido nuestro dilema musical en una cuesti¨®n amorosa que protagoniza un matem¨¢tico de nombre Desiderio. Aqu¨ª va su propuesta.
"El matem¨¢tico Desiderio, incapaz de poner fin a su perniciosa relaci¨®n con la inaccesible Helena, decide espaciar implacable y progresivamente las cortas visitas que le hace.
La visita un lunes. Tras (casi) un d¨ªa sin verla, la visita el martes. Deja pasar dos y la visita el jueves. Deja pasar tres y la visita el domingo. Tras cuatro m¨¢s la visita el jueves, y as¨ª sucesivamente.
Previendo un proceso de, al menos, 7.000 visitas, se pregunta:
1. ?Cu¨¢ntas veces la habr¨¢ visitado en lunes?
2. ?Habr¨¢ alg¨²n d¨ªa de la semana en que no la haya visitado?
Las siete primeras visitas son las siguientes:
1 = L
L + 1 = M
M + 2 = J
J + 3 = D
D + 4 = D - 3 = J
J + 5 = J - 2 = M
M + 6 = M - 1 = L
Estas visitas forman el ciclo L- M- J- D- J- M-L, que se repetir¨¢ indefinidamente.
Al cabo mil ciclos (7.000 visitas), el n¨²mero de visitas ser¨¢:
Lunes, Martes y Jueves = 2.000 visitas;
Domingo = 1.000 visitas;
Mi¨¦rcoles, Viernes y S¨¢bado = 0 visitas.
De igual forma, en el caso del piano gigantesco, las teclas tocadas ser¨¢n:
Do, Re y Fa = 2.000 veces;
Si = 1.000 veces;
Mi, Sol y La = 0 veces".
El pr¨®ximo jueves plantearemos un nuevo desaf¨ªo.
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