Una dura elecci¨®n

Ya hay soluci¨®n para el vig¨¦simo noveno desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Javier Fres¨¢n, estudiante de doctorado en Matem¨¢ticas en la Universit¨¦ Paris 13 Nord, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 585 respuestas, de las que el 85% eran correctas. Una vez realizado el sorteo, el ganador de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido Juan Francisco Rodr¨ªguez Calvo, de Puertollano (Ciudad Real). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el peri¨®dico, La m¨²sica de las esferas, de Rosa Maria Ros.

Recordemos el problema: consist¨ªa en calcular el porcentaje de votos necesarios para que, en unas elecciones a las que se presentan n candidatos, podamos garantizar que el ganador por mayor¨ªa lo ser¨ªa tambi¨¦n si se aplicase el m¨¦todo de Borda. En este ¨²ltimo sistema de recuento, cada elector debe colocar a todos los candidatos seg¨²n su orden de preferencia y a continuaci¨®n se asigna un punto al candidato si est¨¢ en ¨²ltima posici¨®n; dos, si aparece en pen¨²ltima; tres, en antepen¨²ltima; y as¨ª sucesivamente...

La respuesta correcta al desaf¨ªo es que la fracci¨®n de votos debe ser estrictamente superior a 1-1/n, o bien, si queremos expresarlo como porcentaje, al 100-100/n % de los votos. Por tanto, a medida que aumenta el n¨²mero de candidatos, se requiere una pr¨¢ctica unanimidad. Como se?alan varios lectores, el porcentaje m¨ªnimo llegar¨ªa al 100% si todos los electores fueran al mismo tiempo candidatos. Veamos a continuaci¨®n la prueba.

Adem¨¢s del dato del problema (n candidatos), introduciremos dos nuevas variables: el n¨²mero total de electores, que llamaremos E, y la cantidad de votos que recibe el ganador por mayor¨ªa, digamos v. La fracci¨®n que se desea calcular es, por tanto, v/E.

La idea de la soluci¨®n consiste en examinar la situaci¨®n m¨¢s desfavorable para el candidato ganador. Si garantizamos que, en ese caso, tambi¨¦n se declarar¨ªa vencedor por el m¨¦todo de Borda, entonces tendremos la garant¨ªa de que lo har¨¢ siempre. Y la situaci¨®n m¨¢s desfavorable posible se producir¨ªa con estas dos condiciones:

1. Todos los electores que no han votado al ganador lo colocan en ¨²ltima posici¨®n en su lista.

2. Existe otro candidato al que todos aquellos que no han votado al ganador colocan en primer lugar y quienes s¨ª lo han votado lo sit¨²an segundo.

Ahora solo queda contar cu¨¢ntos puntos recibir¨¢n el ganador y el otro candidato seg¨²n el m¨¦todo de Borda y plantear una desigualdad entre ambas cantidades.

Empecemos por el ganador: obtendr¨¢ n puntos por cada uno de los votantes que lo colocan en cabeza de la lista y un ¨²nico punto por todos los que lo sit¨²an en ¨²ltima posici¨®n. En el primer grupo se encuentran los v votantes que lo han elegido y en el segundo el resto de los lectores, es decir, E-v personas. Por tanto, los puntos del candidato ganador seg¨²n el m¨¦todo de Borda son vn+(E-v).

En cuanto al otro candidato, recibir¨¢ n puntos por cada uno de los E-v electores que lo han situado en primera posici¨®n y n-1 puntos de cada uno de los v votantes que han elegido al ganador, pues ellos lo sit¨²an en segundo lugar en su lista de preferencias. Esto da un total de (E-v)n+v(n-1) puntos.

Por tanto, para que el ganador por mayor¨ªa se declare ganador tambi¨¦n por el m¨¦todo de Borda sea cual sea la configuraci¨®n de las preferencias de los votantes, es preciso que se verifique la desigualdad vn+(E-v)>(E-v)n+v(n-1). Pasando el t¨¦rmino E-v al otro lado, vemos que esto equivale a vn>(E-v)(n-1)+v(n-1)=E(n-1). Por tanto, como anunciamos al comienzo de la soluci¨®n, la fracci¨®n v/E que buscamos debe ser estrictamente mayor que (n-1)/n=1-1/n. Lo que expresado como porcentaje equivaldr¨ªa al 100-100/n % de los votos.

Muchos lectores han ilustrado su soluci¨®n con casos pr¨¢cticos, que van desde elecciones a Parlamentos auton¨®micos hasta el problema de la decisi¨®n de un destino para el viaje de fin de carrera. Otros muchos nos han hecho llegar sus reflexiones ante un asunto que han sentido pr¨®ximo. Son los casos de Steve Wets, quien agradece desde Tailandia que el desaf¨ªo le haya "abierto la mente sobre el sistema electoral"; o de Tomeu Gamundi, quien reconoce que "ha sido divertido y dif¨ªcil obviar jocosas comparaciones pol¨ªticas". En esta l¨ªnea, y con algo m¨¢s de mordacidad, Luis J. Fern¨¢ndez de las Heras nos indica que "este problema de aritm¨¦tica electoral es tan sencillo que hasta los pol¨ªticos sabr¨ªan resolverlo, con ayuda de su grupo de asesores por supuesto".

En general, la mayor¨ªa de quienes han enviado soluciones muestran su sorpresa ante el grand¨ªsimo porcentaje de apoyos requerido para que ambos m¨¦todos den siempre al mismo ganador. Iago Vaamonte Paniagua ve en ello "la utop¨ªa hecha realidad, pues basta un 1/n de indignados para vetar a un candidato seg¨²n el m¨¦todo de Borda". Tambi¨¦n Enrique J. Fern¨¢ndez Pastor considera que se favorece as¨ª la "desconcentraci¨®n del poder, al obligar al votante a pensar en todos los posibles candidatos".

Pero no han faltado las voces cr¨ªticas con el m¨¦todo de Borda: Carlos Santos Ramos lo encuentra un "sistema muy poco pr¨¢ctico, probablemente concebido para reconciliar a unas partes de por s¨ª irreconciliables"; mientras que Enrique Boto considera el planteamiento "demasiado exigente" ya que "es muy improbable que un ganador por mayor¨ªa quede ¨²ltimo en las preferencias de los que no lo han votado en primer lugar y que otro candidato solo obtenga primeras o segundas posiciones". Tambi¨¦n Fernando Puente de Vera estima que "el m¨¦todo en bruto no es demasiado justo", por susceptible al "voto de venganza".

No quisi¨¦ramos despedirnos sin felicitar a Joaqu¨ªn Montesanto, quien nos cuenta desde M¨¢laga que ha resuelto el desaf¨ªo en el hospital, con su hijo Gael reci¨¦n nacido sobre su pecho, y apunta que "quiz¨¢ este primer contacto con las matem¨¢ticas le haga ser un apasionado de esta ciencia como su padre". ?Que as¨ª sea!

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Una dura elecci¨®n

Una paradoja electoral