Una de cada cinco

Ya hay soluci¨®n para el trig¨¦simo desaf¨ªo matem¨¢tico con el que EL PA?S celebra el centenario de la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola (ver el v¨ªdeo conmemorativo).

Santiago Fern¨¢ndez Fern¨¢ndez, asesor de matem¨¢ticas del Berritzegune Nagusia de Bilbao y responsable de la secci¨®n de retos matem¨¢ticos del portal Divulgamat, propuso el problema (ver v¨ªdeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (v¨ªdeo de la derecha).

Para este desaf¨ªo se han recibido en el plazo marcado 660 respuestas, de las que el 88% eran correctas. La ganadora de una biblioteca matem¨¢tica como la que entrega cada semana EL PA?S ha sido en esta ocasi¨®n M.? Bel¨¦n Ramos ?lvarez, de Valladolid.

Recordemos el problema: una persona necesita urgentemente 5.000 euros y los puede conseguir jugando a un juego de azar que consiste en apostar una cantidad de dinero, que ha de ser siempre m¨²ltiplo de 1.000, de tal manera que, si gana, recupera lo apostado y consigue adem¨¢s otro tanto.

El jugador parte con 1.000 euros y juega siempre en cada apuesta de la manera m¨¢s arriesgada posible para lograr su objetivo, dentro de la l¨®gica (por ejemplo: si tiene 2.000 euros se jugar¨¢ los 2.000, mientras que si hubiera conseguido 3.000 euros no los jugar¨ªa en su totalidad, sino que apostar¨ªa ¨²nicamente 2.000 euros, ya que en el caso de ganar conseguir¨ªa los 5.000 euros y si perdiera se quedar¨ªa con 1.000, con la posibilidad de volver a jugar).

Nota importante: Se supone que en cada lance la probabilidad de perder o de ganar es la misma.

La pregunta es: ?Qu¨¦ probabilidad tiene de conseguir los 5.000 euros?

Respuesta: 1/5

La primera de las dos soluciones que se presentan en el v¨ªdeo, consistente en realizar una simulaci¨®n, coincide con la que propone Rafael Losada. La segunda soluci¨®n, del profesor Fern¨¢ndez, por la que han optado la mayor¨ªa de los concursantes, recurre al estudio de un ¨¢rbol de probabilidad, como lo hace ?ngel T. Jorge Gonz¨¢lez, para posteriormente calcular la probabilidad mediante la suma de una serie infinita P = (1/2^3 + 1/2^4) + (1/2^7 + 1/2^8) + (1/2^11 + 1/2^12) + (1/2^15 + 1/2^16) + ....... = 1/5.

Muchos de los que enviaron soluciones correctas han utilizado un razonamiento del siguiente tipo (transcribimos el de Antonio Gonz¨¢lez Lahoz):

P1=posibilidad de ganar 5.000 teniendo 1.000 (lo que se pide)

P2= posibilidad de ganar 5.000 teniendo 2.000

P3=posibilidad de ganar 5.000 teniendo 3.000

P4= posibilidad de ganar 5.000 teniendo 4.000

-Cuando tenemos 1.000 apostamos 1.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 2.000 y otro medio de perder, luego: P1=1/2*P2.

-Cuando tenemos 2.000 apostamos 2.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 4.000 y otro medio de perder, luego: P2=1/2*P4.

-Cuando tenemos 3.000 apostamos 2000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 5.000 (ganar) y otro medio de quedarnos en 1.000, luego: P3=1/2+1/2*P1.

-Cuando tenemos 4.000 apostamos 1.000 y existe 1/2 de posibilidades de obtener 5.000 (ganar) y otro medio de quedarnos en 3.000, luego: P4=1/2+1/2*P3.

Con esto se tiene un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro inc¨®gnitas, cuya soluci¨®n es: P1=1/5, P2=2/5, P3=3/5, P4=4/5

Tambi¨¦n ha habido un grupo nutrido de participantes que ha resuelto el desaf¨ªo acudiendo al concepto de esperanza matem¨¢tica, como muy bien explica ?ngel Pastor Mart¨ªn. De acuerdo a su presentaci¨®n, la justificaci¨®n es la siguiente:

Estamos ante un juego equilibrado o justo, por lo tanto la esperanza de dinero ganado es 0 euros. Adem¨¢s, las dos ¨²nicas formas de terminar el juego son con 0 o con 5.000 euros, lo que supone ganar -1-000 euros o 4.000 euros, respectivamente.

Llamamos p a la probabilidad de alcanzar los 5.000 euros (ganando 4.000), con lo que 1-p es la probabilidad de quedarse sin los 1000 euros que ten¨ªa inicialmente. La esperanza del dinero ganado, E, tiene que ser cero, y la expresi¨®n E = 4.000p-1.000(1-p)=0 nos lleva al resultado. Resolviendo la ecuaci¨®n se obtiene 4.000p-1.000+1.000p=0, luego 5.000p=1.000, luego p=0,2.

Un buen n¨²mero de concursantes ha recurrido a un razonamiento similar al siguiente. Partimos con 1.000 euros y ahora probabilidad 1/2 de perder y quedarse con 0 euros, y la misma de ganar y quedarse con 2.000. En el segundo caso apostamos 2.000 y la probabilidad de perder es 1/4 para quedarse con 0, y la misma para ganar y obtener 4.000. Seguimos apostando 1.000 con probabilidad 1/8 de ganar y quedarse con 5.000 euros y la misma probabilidad de perder y quedarse con 3.000 euros. Ahora apostamos 2.000, siendo 1/16 la probabilidad de ganar y quedarse con 5.000, y la misma probabilidad de perder y quedarse con 1.000.

Como se puede ver, esta es la situaci¨®n de partida, por lo que ahora se va a repetir el proceso. Por tanto, llamando P a la probabilidad buscada tenemos que se cumple la ecuaci¨®n P=1/8+1/16+(1/16)P, que al resolverla da la soluci¨®n P =1/5, o bien un 20%.

Por ¨²ltimo, son de rese?ar algunas soluciones en las que se emplean conocimientos estoc¨¢sticos, se?alando que se trata de una cadena de Markov con seis estados (dos de ellos absorbentes) para acabar resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones y cuatro inc¨®gnitas asociado a dicha cadena. Algunos lectores tambi¨¦n han utilizado asistentes matem¨¢ticos para realizar simulaciones y poder hacer las sumas pertinentes.

En todo caso, hay que se?alar que el jugador se enfrenta al desaf¨ªo de la apuesta con una vida infinita, aspecto rese?able para poder resolver el problema en toda su extensi¨®n.

El jueves plantearemos un nuevo reto. Y recordamos a los lectores que pueden enviar los suyos.

Una de cada cinco

Apuesta arriesgada