El n¨²mero de los ¡®desafiadores¡¯

Ya hay soluci¨®n para el desaf¨ªo matem¨¢tico extraordinario de Navidad presentado por EL PA?S y la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola con motivo del sorteo de la loter¨ªa. Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), present¨® el desaf¨ªo (pincha aqu¨ª para ver el enunciado completo) y nos da ahora la respuesta. Recordemos que el reto consist¨ªa en averiguar a qu¨¦ n¨²mero de Loter¨ªa nos hemos suscrito los desafiadores, sabiendo que ese n¨²mero tiene las cinco cifras distintas y otra curiosa propiedad: al restarle el n¨²mero correspondiente al mes anterior, el resultado es divisible por el n¨²mero del mes en curso.

Se han recibido 1.251 soluciones procedentes de 15 pa¨ªses distintos, de las que el 92 % ha encontrado el n¨²mero 83.159 al que estamos abonados (y que, por desgracia, no ha ganado ni siquiera un reintegro), con una explicaci¨®n correcta de c¨®mo lo han logrado. El ganador de una biblioteca matem¨¢tica, como la que ofreci¨® EL PA?S en el quiosco, y del libro Desaf¨ªos Matem¨¢ticos, publicaci¨®n de SM ofrecida por cortes¨ªa de la RSME, ha sido Jos¨¦ Olarrea Busto, de Madrid.

Primero, la segunda condici¨®n

La primera cosa que conviene hacer para resolver el desaf¨ªo es centrarnos en la segunda caracter¨ªstica que ped¨ªamos a nuestro n¨²mero. As¨ª, si llamamos L al n¨²mero que buscamos, la segunda condici¨®n nos dice que 1 divide a L - 12 (aunque como esta condici¨®n no da ninguna informaci¨®n sobre L, la olvidamos), que 2 divide a L - 1, que 3 divide a L -2, que 4 divide a L - 3, y as¨ª sucesivamente hasta llegar a que 12 divide a L - 11. Aunque parecen 11 condiciones sobre 11 n¨²meros distintos: L - 1, L - 2, L - 3,..., L - 11, vamos a intentar convertirlo en condiciones sobre un s¨®lo n¨²mero, y para eso es mejor verlo en abstracto.

As¨ª, si llamamos m al n¨²mero de mes, la condici¨®n es que m divida a L - (m-1) = L+1 - m, pero, como m siempre divide a m, esto es equivalente a que m divida a L+1. Es decir, queremos que L+1 sea divisible entre 2, 3, 4,...11 y 12. O lo que es lo mismo, que L+1 sea un m¨²ltiplo com¨²n de 2, 3, 4,¡­11 y 12, lo que se puede resumir en que sea un m¨²ltiplo de su m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo.

Y ahora, mirando los factores de estos n¨²meros, resulta que:

m.c.m.(2, 3, 4,...,11, 12) = (2^3) x (3^2) x 5 x 7 x 11 = 27720

?y por tanto L+1 tiene que ser uno de estos n¨²meros (y no hay m¨¢s porque L+1 tiene que estar entre 1 y 100.000):

27720 x 1=27720,

27720 x 2=55440,

27720 x 3=83160.

?Por tanto L podr¨ªa ser 27719, 55439 o 83159.

?Recordando ahora la primera condici¨®n, que las cinco cifras tienen que ser distintas, concluimos que el n¨²mero al que estamos abonados es el 83159.

Vuestras respuestas

La mayor¨ªa de las soluciones correctas utilizaban, quiz¨¢s con peque?as variaciones, este argumento. Pero un 11% de los lectores que han entrado en el sorteo han conseguido dar con el n¨²mero al que estamos abonados utilizando los datos de algunos meses particulares para ir hallando condiciones sobre sus d¨ªgitos. Por ejemplo, como L-9 es divisible entre 10 entonces la ¨²ltima cifra es 9. Esta manera de hallar L es m¨¢s larga, aunque hay quien, como ?lvaro Albizuri. que nos escrib¨ªa desde Northampton (Reino Unido), la ha abordado de manera muy eficaz. En cualquier caso es una soluci¨®n v¨¢lida.

Casi todas las respuestas err¨®neas lo son por no haber tenido en cuenta que las cifras han de ser distintas y bien dar como soluci¨®n el 27719 o decir que debemos estar abonados a tres n¨²meros.

Un gran desaf¨ªo

Estimar el m¨ªnimo com¨²n m¨²ltiplo de los n primeros enteros positivos es un problema muy importante de las matem¨¢ticas. La funci¨®n log mcm (1,¡­,n) fue introducida por Chebychev en 1850 en su estudio sobre la distribuci¨®n de los n¨²meros primos. En 1896 J. Hadamard y J-C. de laVall¨¦e Poussin demostraron que log mcm (1,¡­, n) era aproximadamente n. Esto es equivalente a afirmar que el n¨²mero de primos menores que n es aproximadamente n/log n (como afirma el Teorema de los n¨²meros primos).

Demostrar que el error que se comete al aproximar log mcm (1,¡­,n) por n no es mucho mayor que la ra¨ªz cuadrada de n se conoce como la Hip¨®tesis de Riemann, uno de los siete Problemas del Milenio, y es considerado por muchos matem¨¢ticos como el problema sin resolver m¨¢s importante de las matem¨¢ticas.

Y hasta aqu¨ª el Desaf¨ªo Extraordinario de la Navidad de 2013. Muchas gracias por vuestra participaci¨®n y Felices Fiestas para todos.