La medida de todas las cosas

?Por qu¨¦ los humanos necesitamos medirlo todo? ?Es porque buscamos compararnos con los dem¨¢s? ?Es por envidia, por demostrar lo que somos, lo que tenemos? ?Es porque necesitamos referencias, tablas de medir y estad¨ªsticas que nos digan cu¨¢l es nuestro lugar en el mundo? La geometr¨ªa, la probabilidad y el an¨¢lisis matem¨¢tico explican, a su manera, c¨®mo sucumbimos a esta obsesi¨®n.

Estas tres ramas, a pesar de sus diferencias por las t¨¦cnicas y problem¨¢ticas que suelen abordar, hallan un fruct¨ªfero punto de encuentro en la llamada teor¨ªa de la medida. Esta es un ¨¢rea de las matem¨¢ticas que se comenz¨® a formalizar a finales del siglo XIX y principios del XX, de la mano de matem¨¢ticos franceses como ?mile Borel, Maurice Fr¨¦chet, Camille Jordan y Henri Lebesgue. Una de las motivaciones principales en aquel momento era desarrollar una teor¨ªa de integraci¨®n que resolviera ciertos problemas que presentaba la integral de Riemann, relacionados con procesos infinitos. Por ejemplo, ?es posible medir el conjunto de los n¨²meros racionales (los que podemos escribir como fracci¨®n de enteros)? ?Hay m¨¢s racionales o irracionales? La respuesta vino de observar que el conjunto de n¨²meros racionales se puede meter dentro de la uni¨®n infinita de intervalos, de longitud tan peque?a como queramos. Esta idea dio lugar a la definici¨®n de medida/integral de Lebesgue, y a comprender que pueden existir conjuntos medibles y no-medibles.

Para poder calcular mediciones de la forma sencilla, la propiedad clave es que volumen, ¨¢rea y longitud son invariantes por rotaciones y traslaciones

Podr¨ªamos preguntarnos, por ejemplo, si cualquier tipo de objeto s¨®lido es medible, y, de ser as¨ª, c¨®mo podr¨ªamos medirlo. Desde el punto de vista geom¨¦trico, algunas medidas de un objeto pueden ser la longitud, en una dimensi¨®n, el ¨¢rea, en dos dimensiones y el volumen, en tres. Conocemos f¨®rmulas para calcular vol¨²menes de ciertas figuras geom¨¦tricas (la esfera, el cono, los prismas¡­) As¨ª, para calcular el volumen de s¨®lidos m¨¢s complicados, podr¨ªamos descomponerlos en trozos m¨¢s sencillos (cuyo volumen conozcamos) y trasladarlos o girarlos. Siempre que no podamos meterlos en la ba?era, como har¨ªa Arqu¨ªmedes.

Pero este proceso de descomposici¨®n y recomposici¨®n, ?valdr¨¢ siempre? A comienzos del s. XX los matem¨¢ticos se dedicaron a estudiar esta operaci¨®n. En concreto, se plantearon si dados dos poliedros del mismo volumen, era posible descomponer el primero en una cantidad finita de poliedros m¨¢s peque?os que se pudieran ensamblar para obtener el segundo. Este problema se incluy¨® en la famosa lista propuesta por el matem¨¢tico alem¨¢n David Hilbert en el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos en 1900.

En el estudio de este problema surgi¨® el concepto de valuaci¨®n, que generaliza las nociones de longitud, ¨¢rea y volumen. De forma simplificada, una valuaci¨®n es una funci¨®n definida en cierta familia de conjuntos, que cumple el principio de inclusi¨®n-exclusi¨®n, que dice que la suma de la valuaci¨®n de dos conjuntos es igual a la valuaci¨®n de la uni¨®n de esos dos conjuntos, m¨¢s la valuaci¨®n de su intersecci¨®n.

El problema en dimensiones mayores sigue abierto, fomentando esta, quiz¨¢s sana, obsesi¨®n por las medidas que tiene el ser humano

En 1901, Max Dehn ¨Calumno de Hilbert¨C resolvi¨® el problema de su maestro y, tal y como ¨¦ste conjeturaba, demostr¨® que no siempre era posible realizar la descomposici¨®n y composici¨®n de un poliedro a otro. Para ello, Dehn describi¨® un intrincado caso en el que era imposible hacerlo. Fue el primer problema resuelto del listado de Hilbert. Curiosamente, la misma pregunta sobre pol¨ªgonos del plano tiene respuesta afirmativa (es el llamado teorema de Wallace¨CBolyai¨CGerwien, propuesto a comienzos del siglo XIX).

Pero para poder calcular mediciones de la forma sencilla que hemos indicado antes, la propiedad clave es que volumen, ¨¢rea y longitud son invariantes por rotaciones y traslaciones. ?Tambi¨¦n lo son las valuaciones? No todas, pero disponemos de un cat¨¢logo de las que s¨ª: gracias al teorema de Hadwiger hemos podido clasificar todas las valuaciones sobre cuerpos s¨®lidos convexos (en cualquier dimensi¨®n) que son tambi¨¦n invariantes por rotaciones y traslaciones.

El teorema de Hadwiger ha sido fundamental en el desarrollo de las desigualdades isoperim¨¦tricas, campo al que contribuy¨® de manera notable el matem¨¢tico catal¨¢n Luis Santal¨®, y que tiene profundas implicaciones en teor¨ªa de n¨²meros, ecuaciones diferenciales o en geometr¨ªa de espacios de Banach. Santal¨® hizo su tesis doctoral en la Universidad de Hamburgo bajo la direcci¨®n de Wilhelm Blaschke, antes de exiliarse a Argentina como consecuencia de la Guerra Civil y la dictadura franquista, y demostr¨® la famosa desigualdad de Blaschke-Santal¨®.

Del trabajo de Santal¨® surgieron muchas otras preguntas, como la conjetura de Mahler. Esta conjetura formaliza la idea de que los conjuntos convexos m¨¢s puntiagudos en un espacio son esencialmente cubos y octaedros, mientras que los m¨¢s redondeados ser¨ªan esferas o, m¨¢s en general, elipsoides. Recientemente, los matem¨¢ticos japoneses Hiroshi Iriyeh y Masataka Shibata la han resuelto en dimensi¨®n tres, pero el problema en dimensiones mayores sigue abierto, fomentando esta, quiz¨¢s sana, obsesi¨®n por las medidas que tiene el ser humano.

Pedro Tradacete es investigador distinguido del Consejo Superior de Investigaciones Cient¨ªficas en el ICMAT

Ignacio Villanueva es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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