Sobre mates y mitos

Es frecuente hoy en d¨ªa escuchar que las matem¨¢ticas est¨¢n presentes en muchos aspectos de la vida moderna: en los avances tecnol¨®gicos, en la toma de decisiones macroecon¨®micas, en la organizaci¨®n log¨ªstica del mundo conectado¡­ Sin embargo, algunos de los problemas matem¨¢ticos que tratan de resolver los especialistas del siglo XXI tienen un origen much¨ªsimo m¨¢s antiguo, incluso mitol¨®gico.

Uno de esos problemas lo encontramos en la leyenda de la princesa fenicia Dido. Unos 1000 a?os antes de nuestra era, Dido fue obligada a huir de su ciudad por las amenazas de su hermano, que no estaba dispuesto a compartir el trono como era deseo del anterior rey. Tras varias aventuras, lleg¨® con una escuadra a las costas de ?frica, donde un gobernante local le dio permiso para ocupar temporalmente el trozo de tierra que fuera capaz de cubrir con la piel de un toro. Dido orden¨® cortar la piel en tiras fin¨ªsimas y atarlas para obtener una cuerda de longitud considerable, y rode¨® con ella un terreno en el que fundar¨ªa la c¨¦lebre ciudad de Cartago.

Si la cuerda ten¨ªa una longitud fija y Dido quer¨ªa tener una ciudad lo m¨¢s grande posible, con una buena salida al mar, ?qu¨¦ forma habr¨ªa de dibujar con la cuerda? ?Ser¨ªa mejor rodear un terreno cuadrado, o circular, o con forma de tri¨¢ngulo? Esta cuesti¨®n da nombre al llamado problema isoperim¨¦trico: encontrar la forma ¨®ptima de un terreno que se pueda delimitar por una cuerda de longitud dada, de manera que se consiga un objetivo concreto, como por ejemplo obtener el ¨¢rea m¨¢s grande. En esta, su versi¨®n m¨¢s simple, la soluci¨®n es muy sencilla: Dido debe trazar una circunferencia con la cuerda.

El problema se complica de muchas maneras que dan lugar a un amplio y fruct¨ªfero campo de investigaci¨®n matem¨¢tica, con muchas preguntas sin resolver. Por ejemplo, ?Cu¨¢l es la soluci¨®n si el espacio ambiente (el terreno, en el ejemplo de Dido) no es un plano sino una superficie o, en general, un conjunto de cualquier dimensi¨®n con curvatura ¨Ccon lo que la cuerda ser¨ªa una superficie de dimensi¨®n uno menos que el ambiente?

Cientos de a?os antes de la haza?a de Dido, se fecha ¨Cdentro de la niebla del tiempo que envuelve los sucesos m¨¢gicos¨C la historia del joven Teseo. Buscando conocer a su padre Egeo, de quien cre¨ªa ser hijo ileg¨ªtimo, emprendi¨® un peligroso viaje hasta Atenas en el que se enfrent¨® a varios bandidos, siendo el m¨¢s famoso Procrustes, traducido como ¡°el que estira¡±. Se trataba de un tabernero que convenc¨ªa a los viajeros para pasar la noche en su posada, y les hac¨ªa dormir en una cama de hierro. Si el viajero era demasiado bajo, Procrustes le estiraba brutalmente en un potro de tortura hasta que alcanzase la longitud exacta. Si era demasiado alto, el criminal le cortaba los pies hasta donde fuera necesario para hacerle encajar en su lecho a la perfecci¨®n.

Tal crueldad ha dado nombre al conocido como problema de Procrustes. Consiste en, dados dos objetos ¨Cdos matrices¨C, encontrar la manera de girar uno de ellos ¨Cm¨¢s concretamente, multiplicar una de las matrices por una matriz llamada ortogonal¨C para que se superponga del modo m¨¢s exacto al otro. Este tipo de c¨¢lculo se emplea para resolver multitud de problemas que van desde la log¨ªstica de un aeropuerto hasta las comunicaciones inal¨¢mbricas. En las aplicaciones del problema es frecuente que haya que manejar objetos muy complejos, que corresponden a matrices de gran tama?o. Por ello, se estudian los mejores m¨¦todos num¨¦ricos para resolverlo, buscando hacerlos lo m¨¢s r¨¢pidos y eficaces que sea posible.

Otro desaf¨ªo matem¨¢tico aparece en el mito del gigante Argos Panoptes, un guardi¨¢n implacable cuyo cuerpo estaba cubierto de ojos capaces de mirar en todas las direcciones. La diosa Hera, esposa de Zeus, hab¨ªa llamado a la criatura para vigilar a la joven ?o, a quien su marido hab¨ªa embrujado para conquistarla y posteriormente convertido en vaca para evitar ser descubierto.

El problema matem¨¢tico consiste en encontrar la forma ideal de colocar puntos en un cuerpo cualquiera. Por ejemplo, lugares donde ubicar sensores para analizar la calidad media del aire de una ciudad, o puntos representativos para calcular la temperatura media de un oc¨¦ano. O encontrar la forma de repartir un n¨²mero de puntos en una esfera (o en otro cuerpo) con la propiedad de que el producto de las distancias mutuas sea lo m¨¢s grande posible. Este ¨²ltimo es el problema n¨²mero siete de la famosa lista ¡°Mathematical Problems for the Next Century¡±, sobre la que trabajan cientos de investigadores en todo el mundo.

Todas estas cuestiones matem¨¢ticas tienen un importante significado te¨®rico, y aplicaciones en muy diversos problemas de f¨ªsica, log¨ªstica, biomatem¨¢tica e ingenier¨ªa, pero tambi¨¦n un lado humano, que de alguna forma los lig¨® a la mente de los cuentacuentos que hace siglos nos dejaron el maravilloso legado de la mitolog¨ªa.

Carlos Beltr¨¢n e Irene Olmo son investigadores de la Universidad de Cantabria

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter, Instagram o suscribirte aqu¨ª a nuestra newsletter