Matem¨¢ticas para capturar el caos cu¨¢ntico

El caos es un fen¨®meno bien entendido en el mundo macrosc¨®pico, es decir, aquel que sigue las leyes de la mec¨¢nica cl¨¢sica de Isaac Newton. Aparece en aquellas situaciones cuya evoluci¨®n muestra una dependencia extrema de las condiciones iniciales. O, lo que es lo mismo, cuando dos trayectorias que empiezan muy pr¨®ximas pueden convertirse con el tiempo en situaciones muy diferentes, lo que impide predecir su futuro. El matem¨¢tico y meteor¨®logo Edward Lorenz plasm¨® este comportamiento en el conocido efecto mariposa: ¡°El aleteo de las alas de una mariposa en Brasil puede desencadenar un tornado en otra parte alejada del planeta¡±. Pero, ?qu¨¦ sucede a escala muy peque?a, en situaciones en las que aparecen efectos cu¨¢nticos? Aunque la ciencia no tiene a¨²n hoy en d¨ªa una definici¨®n precisa, s¨ª existen fuertes indicios de que el caos tambi¨¦n se manifiesta a nivel cu¨¢ntico.

La descripci¨®n que proporciona la mec¨¢nica cu¨¢ntica del mundo es muy poco intuitiva: no existen trayectorias sino una interpretaci¨®n probabil¨ªstica, basada en la llamada funci¨®n de onda, que se calcula resolviendo una complicada ecuaci¨®n en derivadas parciales propuesta por Erwin Schr?dinger. Cuando esta funci¨®n se refiere a una part¨ªcula ¨Cun electr¨®n, por ejemplo¨C el cuadrado de su valor da la probabilidad de encontrarla alrededor de cada punto.

Pero no podemos definir el caos buscando una alta sensibilidad a las condiciones iniciales de las funciones de ondas, ya que la diferencia entre dos funciones muy parecidas crece con el tiempo de forma muy modesta. Ahora bien, encontramos ciertas funciones de onda que muestran caracter¨ªsticas del movimiento cl¨¢sico ca¨®tico: la probabilidad se acumula en ¨®rbitas peri¨®dicas y se anula en el resto del espacio.

Desde el punto de vista matem¨¢tico estas ¨®rbitas peri¨®dicas son objetos fascinantes y representan el ¨²nico remanente de orden cuando solo impera el caos. En la perspectiva cl¨¢sica, los trabajos pioneros de Henri Poincar¨¦ demostraron que permiten entender y dar sentido al caos, pues sus propiedades imponen unas reglas definidas. M¨¢s tarde Stephen Smale, con su paradigm¨¢tico mapa de la herradura, mostr¨® la estructura intrincada que existe cerca de las ¨®rbitas y que da forma al caos. Desde el punto de vista cu¨¢ntico, Martin C. Gutzwiller reconoci¨® su importancia desarrollando una teor¨ªa del caos de los sistemas cu¨¢nticos.

Eric Heller tambi¨¦n estudi¨® la influencia de las ¨®rbitas peri¨®dicas en la distribuci¨®n de probabilidad de funciones de ondas, y acu?o el t¨¦rmino de cicatrices cu¨¢nticas para describir el fen¨®meno. Seg¨²n este investigador, aunque en mec¨¢nica cu¨¢ntica no haya trayectorias, las funciones de onda ¡®saben¡¯ de su existencia, a trav¨¦s de alg¨²n tipo de estructura subyacente, una especie de esqueleto que sea capaz de soportar la estructura de la funci¨®n de onda.

Para entender este resultado se utiliza la aproximaci¨®n semicl¨¢sica a la teor¨ªa cu¨¢ntica. Esta es una teor¨ªa h¨ªbrida que describe el mundo superponiendo a las trayectorias ¨Cde la mec¨¢nica cl¨¢sica¨C una onda especial ¨Cde la mec¨¢nica cu¨¢ntica¨C, cuyas propiedades fueron definidas por Louis de Broglie. Bajo esta ¨®ptica, una trayectoria ca¨®tica vaga por el espacio y su onda asociada interfiere consigo misma sin ning¨²n patr¨®n. Sin embargo, cuando la trayectoria se orienta de forma adecuada, la onda se refuerza y vuelve gigantesca, como en un tsunami, y es cuando se observa la influencia de las ¨®rbitas peri¨®dicas en las funciones de onda.

Las aproximaciones semicl¨¢sicas demuestran la existencia del esqueleto en el espacio. En ausencia de caos, este esqueleto resulta de resolver las ecuaciones que describen la evoluci¨®n del sistema en cada una de las direcciones del espacio, y toma la forma de un toro, una superficie con forma de rosquilla. Sin embargo, como descubri¨® Henri Poincar¨¦, el caos destruye esos toros, dejando solo el entramado de ¨®rbitas peri¨®dicas muy inestables. Entonces, estas ¨®rbitas configuran el esqueleto. Como ocurre con el cuerpo humano, la carne y dem¨¢s tejidos necesitan apoyarse en una estructura ¨®sea, que aunque invisible al exterior se evidencia por protuberancias en la piel ¨Cigual que las cicatrices cu¨¢nticas¨C o puede estudiarse mediante rayos X ¨Cque en nuestro caso ser¨ªa la teor¨ªa semicl¨¢sica¨C.

Florentino Borondo es catedr¨¢tico de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT.

Fabio Revuelta es profesor de la Universidad Polit¨¦cnica de Madrid.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

Edici¨®n y coordinaci¨®n: ?gata A. Tim¨®n Garc¨ªa-Longoria (ICMAT)

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