N¨²meros figurados

El truco del peque?o Gauss para sumar mentalmente los 100 primeros n¨²meros se basaba, como vimos la semana pasada, en formar con ellos 50 parejas que sumaban lo mismo que el primero y el ¨²ltimo: (100 + 1) x 50 = 5050. Generalizando a n n¨²meros, su suma, S, ser¨¢: S = (n + 1)n/2, que es, por tanto, la f¨®rmula que nos da el valor del en¨¦simo n¨²mero triangular. As¨ª pues, dados dos n¨²meros triangulares consecutivos cualesquiera, el en¨¦simo y el en¨¦simo primero, su suma ser¨¢:

(n + 1)n/2 + (n + 2)(n + 1)/2 = n?/2 + n/2 + n?/2 + n + n/2 + 1 = n? + 2n + 1 = (n + 1)?

Luego la suma de dos n¨²meros triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto, concretamente, el cuadrado del mayor de los dos n¨²meros. Es f¨¢cil verlo gr¨¢ficamente, pues los dos n¨²meros triangulares consecutivos se pueden ¡°acoplar¡± formando un cuadrado, como se ve en la figura, en la que el tercer y el cuarto n¨²mero triangular configuran el cuarto n¨²mero cuadrado.

Una representaci¨®n gr¨¢fica similar nos ayuda a ver que n? es la suma de los n primeros n¨²meros impares (teorema de Nic¨®maco).

Hay distintas maneras de demostrar que todo cuadrado perfecto tiene un n¨²mero impar de divisores. Nuestro comentarista habitual Salva Fuster aporta la siguiente:

Para ver que n? tiene un n¨²mero impar de divisores, ¨²nicamente hace falta ver que, por una parte, n es divisor, pues n x n = n?, y por otra, que, si tiene m¨¢s divisores, siempre vendr¨¢n por parejas, pues si a x b = n?, siendo a y b distintos de n, uno de ellos ser¨¢ mayor que n y el otro menor.

Y, por tanto, a y b son distintos, luego n2 tendr¨¢ una o m¨¢s parejas de divisores distintos de n m¨¢s el propio n, o sea, un n¨²mero impar de divisores; y si a?adimos a los divisores el propio n? y el 1, su n¨²mero sigue siendo impar.

N¨²meros y figuras

Los n¨²meros triangulares y cuadrados son los m¨¢s conocidos miembros de la familia de los n¨²meros figurados. Dada la sinonimia de los t¨¦rminos ¡°figurarse¡± e ¡°imaginarse¡±, cabr¨ªa pensar que tienen algo que ver con los n¨²meros imaginarios, pero en realidad son todo lo contrario: los n¨²meros imaginarios son inconcebibles, mientras que los figurados se llaman as¨ª porque son f¨¢cilmente visualizables como figuras geom¨¦tricas. Por su condici¨®n de elementos fronterizos entre la aritm¨¦tica y la geometr¨ªa, fueron estudiados por algunos grandes matem¨¢ticos de la antig¨¹edad, como Pit¨¢goras, Diofanto de Alejandr¨ªa y Nic¨®maco de Gerasa.

Dentro de los n¨²meros figurados, revisten especial inter¨¦s los n¨²meros poligonales, que son aquellos que pueden representarse como conjuntos de puntos equidistantes que configuran pol¨ªgonos regulares. Los primeros n¨²meros poligonales son los triangulares y los cuadrados, de los que nos hemos ocupado en las ¨²ltimas semanas, y, con el mismo criterio, podemos formar los n¨²meros pentagonales, hexagonales, heptagonales¡­

Como hemos visto, la secuencia de los n¨²meros triangulares es 1, 3, 6, 10, 15, 21¡­, y la de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36¡­ ?Cu¨¢l es la secuencia de los n¨²meros pentagonales? ?Y la de los hexagonales? ?Hay alguna relaci¨®n significativa entre las sucesivas secuencias de n¨²meros poligonales?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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