Probabilidades parad¨®jicas

De los cuatro problemas probabil¨ªsticos de la semana pasada, el primero suscit¨® un gran n¨²mero de comentarios y soluciones diversas, ya que para resolverlo hay que partir de algunos supuestos opinables. Est¨¢ tomado del libro de Jos¨¦ P¨¦rez Vilaplana Problemas de c¨¢lculo de probabilidades (Paraninfo, 1965), y seg¨²n el autor la soluci¨®n es 8/13, lo que da pie a plantear el metaproblema de averiguar de qu¨¦ supuesto parte.

El segundo se puede -y debe- resolver sin c¨¢lculos, pues basta con darse cuenta de que las bolas blancas y negras son intercambiables, por lo que, dada la simetr¨ªa de la situaci¨®n, la probabilidad pedida es 1/2.

El tercer problema tambi¨¦n est¨¢ tomado del libro de P¨¦rez Vilaplana (muy recomendable, por cierto). Se resuelve viendo que, teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad por 11, hay que dividir 59 en dos partes cuya diferencia sea 0, 11 o m¨²ltiplo de 11. La ¨²nica posibilidad es 59 = 35 + 24; por lo tanto, las siete cifras del n¨²mero han de ser tales que las cuatro que ocupan un lugar impar sumen 35 y las tres que ocupan un lugar par sumen 24. La ¨²nica posibilidad de que cuatro d¨ªgitos sumen 35 es que sean tres 9 y un 8, y para que tres d¨ªgitos sumen 24 han de ser: tres 8; un 9, un 8 y un 7; o dos 9 y un 6. Viendo las distintas combinaciones de las tres ternas y de la cuaterna y combin¨¢ndolas entre s¨ª, se llega a la probabilidad 4/21.

El cuarto problema est¨¢ emparentado, aunque no de forma evidente, con el dilema de Monty Hall, del que nos hemos ocupado en m¨¢s de una ocasi¨®n, y que a su vez es una variante de la paradoja de la caja de Bertrand (a la que dediqu¨¦ un art¨ªculo hace un par de a?os). Hay que tener en cuenta que, si en el primer lanzamiento sale cara, es m¨¢s probable (el doble concretamente) que sea la moneda con dos caras. Es decir, la probabilidad de que sea la moneda cara-cara es 2/3 y en ese caso es seguro que en el segundo lanzamiento tambi¨¦n saldr¨¢ cara, y la probabilidad de que sea la moneda cara-cruz es 1/3 y en ese caso la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento es 1/2, por lo que la probabilidad pedida es 2/3 x 1 + 1/3 x 1/2 = 5/6.

Veamos otro par de probabilidades parad¨®jicas que con frecuencia dan lugar a estimaciones err¨®neas:

Ni?os y palos

Mucha gente cree que, en una familia con cuatro hijos, la distribuci¨®n por sexos m¨¢s probable es mitad y mitad, o sea, dos de cada; sin embargo, es f¨¢cil ver que lo m¨¢s probable es que haya tres v¨¢stagos de un sexo y uno del otro. ?Y en el caso de cinco hijos, cu¨¢l es la distribuci¨®n de sexos m¨¢s probable? ?Y en el caso de seis? ?Hay alguna pauta a medida que aumenta el n¨²mero de hijos?

En el bridge la cosa se complica, pues no hay dos posibilidades (sexos) sino cuatro (palos). La distribuci¨®n m¨¢s improbable, para una mano de bridge, es, obviamente, que las 13 cartas sean del mismo palo (la probabilidad es de 1 entre 158.753.389.899); pero ?cu¨¢l es la distribuci¨®n de palos m¨¢s probable? Los jugadores suelen creer que es 4-3-3-3, pero se equivocan. ?Cu¨¢l es en realidad, y cu¨¢l es su probabilidad?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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