Cajas problem¨¢ticas

En el problema de la semana pasada de las tres esferas en una caja orto¨¦drica, la ¨²nica dificultad estriba en calcular una de las dimensiones de la base, ya que la otra es obviamente el doble del di¨¢metro de las esferas y la altura es dicho di¨¢metro (10 cm). Y la dimensi¨®n faltante tampoco es dif¨ªcil de hallar si nos damos cuenta de que es igual a la altura del tri¨¢ngulo equil¨¢tero determinado por los centros de las esferas m¨¢s dos veces su radio, o sea, 10 + 5¡Ì3 = 18.66 cm.

Como la primera...

En el problema de la semana pasada de las tres esferas en una caja orto¨¦drica, la ¨²nica dificultad estriba en calcular una de las dimensiones de la base, ya que la otra es obviamente el doble del di¨¢metro de las esferas y la altura es dicho di¨¢metro (10 cm). Y la dimensi¨®n faltante tampoco es dif¨ªcil de hallar si nos damos cuenta de que es igual a la altura del tri¨¢ngulo equil¨¢tero determinado por los centros de las esferas m¨¢s dos veces su radio, o sea, 10 + 5¡Ì3 = 18.66 cm.

Como la primera vez que propuse el problema, hace dos semanas, no iba acompa?ado del dibujo correspondiente, un lector entendi¨® que la caja era c¨²bica, y la confusi¨®n lo llev¨® a descubrir otro interesante problema: meter tres esferas iguales de radio m¨¢ximo dentro de un cubo de lado 1. El radio de las esferas no es dif¨ªcil de calcular (?cu¨¢nto mide?); pero lo m¨¢s curioso de este empaquetamiento es que, como se puede apreciar en la figura, en la caja c¨²bica cabe una cuarta esfera del mismo tama?o.

En la secci¨®n de comentarios de la semana pasada se mencionaron otros problemas de cajas y paquetes, y uno de ellos (ver comentario 22) me sugiri¨® la siguiente variante:

Una empresa de mensajer¨ªa opera exclusivamente con cajas orto¨¦dricas, ninguna de cuyas tres dimensiones (largo, ancho y alto) puede exceder de 1 metro. ?Es posible enviar mediante dicha empresa una caja r¨ªgida de 20 x 90 x 120 cm?

Y hablando de variantes, he aqu¨ª un cl¨¢sico relacionado con la caja con dos candados de hace un par de semanas:

Tres socios comparten una caja fuerte con varias cerraduras. Ninguno de ellos puede abrir la caja por s¨ª solo, pero dos socios cualesquiera s¨ª pueden abrirla sin contar con el tercero. ?Cu¨¢ntas cerraduras hay en la caja y qu¨¦ llaves tiene cada socio?

?Y si son cuatro socios? Como en el caso anterior, han de ser mayor¨ªa para poder abrir la caja: cualquier grupo de tres socios puede abrirla, pero ning¨²n grupo de dos puede hacerlo.

Es interesante generalizar el problema para n socios con la condici¨®n de que cualquier subconjunto mayoritario de ellos pueda abrir la caja, pero ninguno no mayoritario pueda hacerlo.

Cofres l¨®gicos

Para terminar (por ahora) con los problemas de cajas, uno del maestro Raymond Smullyan inspirado en El mercader de Venecia de Shakespeare:

Porcia tiene tres cofres, uno de oro, uno de plata y uno de plomo, y dentro de uno de los cofres est¨¢ su retrato. Junto a cada cofre hay un letrero: en el letrero del cofre de oro pone ¡°El retrato est¨¢ aqu¨ª¡±, en el del cofre de plata pone ¡°El retrato no est¨¢ aqu¨ª¡± y en el del cofre de plomo pone ¡°El retrato no est¨¢ en el cofre de oro¡±. Sabiendo que a lo sumo uno de los tres letreros dice la verdad, ?en qu¨¦ cofre est¨¢ el retrato de Porcia?

Y una variante un poco m¨¢s complicada:

En el letrero del cofre de oro pone ¡°El retrato no est¨¢ en el cofre de plata¡±, en el letrero del cofre de plata pone ¡°El retrato no est¨¢ aqu¨ª¡± y en el letrero del cofre de plomo pone ¡°El retrato est¨¢ aqu¨ª¡±. Sabiendo que al menos una de estas tres afirmaciones es verdadera y al menos una es falsa, ?en qu¨¦ cofre est¨¢ el retrato de Porcia?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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