Cajas enigm¨¢ticas

Sobre los n¨²meros de Dyson, de los que nos ocup¨¢bamos la semana pasada, he aqu¨ª lo que ha averiguado nuestro Mensajero Ut¨®pico con paciencia y un ordenador:

Solo aparecen estos Dyson entre los primeros 2.000 millones de n¨²meros enteros.

Se me ocurri¨® juntarlos a ver qu¨¦ pasaba y¡­ ?bang!

Concaten¨¢ndolos a s¨ª mismos, todos los Dyson que he encontrado generan otro Dyson, con el mismo multiplicador.

Esto asegura un suministro infinito de estos n¨²meros, pero no explica nada, me parece.

He aqu¨ª la prueba de la infinitud. Los n¨²meros est¨¢n formateados con una puntuaci¨®n especial para resaltar los grupos:

102564.102564 x 4 = 4.102564.10256 (par¨¢sito)

102564.102564.102564 x 4 = 4.102564.102564.10256

142857.142857 x 5 = 7.142857.14285 (seudopar¨¢sito)

142857.142857.142857 x 5 = 7.142857.142857.14285

230769.230769 x 4 = 9.230769.23076 (seudopar¨¢sito)

Solo hace falta concatenarlos una vez para ver que se pueden concatenar indefinidamente.

(Para m¨¢s detalles, ver comentarios de la semana pasada).

Cajas, bolas y algo m¨¢s

Los problemas probabil¨ªsticos y distributivos con cajas que contienen bolas de distintos colores son un cl¨¢sico, y hemos visto no pocos de ellos en entregas anteriores; pero las cajas, esos objetos tan intrigantes y simb¨®licos, dan para m¨¢s. Por ejemplo:

1. Un caballero y su dama, temporalmente separados por circunstancias adversas, se comunican por mediaci¨®n de un mensajero. En un momento dado, la dama le env¨ªa al caballero un mensaje secreto y, para que no pueda leerlo el indiscreto mensajero, lo manda dentro de una caja cerrada con un candado. El caballero no tiene la llave y la dama no puede envi¨¢rsela, pues la lleva colgada del cuello con una cadena que no puede romper. Tampoco se pueden romper el candado ni la caja. Sin embargo, el caballero acaba leyendo el mensaje. ?C¨®mo lo consigue? (Pista: hay cierta analog¨ªa entre el ¡°truco¡± del caballero y una forma de intercambiar mensajes cifrados).

2. En una caja rectangular (orto¨¦drica, para ser m¨¢s preciso) hay tres bolas de 10 cent¨ªmetros de di¨¢metro tangentes entre s¨ª y tangentes a las paredes, la base y la tapa de la caja. ?Cu¨¢nto miden los lados de la caja? Cada bola es tangente a las otras dos, y todas ellas son tangentes a al menos una de las paredes.

3. A un lado de una habitaci¨®n hay un mont¨®n de naranjas y al otro hay 10 cajas que tenemos que llenar de acuerdo con las siguientes reglas:

Cada caja tiene una capacidad distinta: en la primera caja cabe 1 naranja, en la segunda 2, en la tercera 3 y as¨ª sucesivamente hasta llegar a la d¨¦cima caja, en la que caben 10 naranjas.

En cada viaje podemos meter naranjas en todas las cajas que queramos, pero metiendo el mismo n¨²mero de naranjas en cada caja.

En cada viaje podemos coger del mont¨®n cuantas naranjas queramos; pero hay que meterlas todas en cajas, no puede quedar ninguna naranja suelta.

?Cu¨¢ntos viajes habr¨¢ que hacer, como m¨ªnimo, para llenar todas las cajas?

Y no pod¨ªa faltar uno de cajas y bolas bicolores t¨ªpico, como el siguiente:

4. Tenemos tres cajas iguales, cada una de las cuales contiene dos bolas blancas y una bola negra. Cogemos al azar una bola de la primera caja y la metemos en la segunda, y luego cogemos una bola de la segunda y la metemos en la tercera. ?Cu¨¢l es la probabilidad de que, tras estas dos operaciones, al sacar al azar una bola de la tercera caja sea blanca?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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