N¨²meros de Dyson

Con paciencia y ordenador, un lector recientemente incorporado a nuestro plantel de sagaces comentaristas, Mensajero Ut¨®pico, ha encontrado un mont¨®n de Repfigit (Repetitive Fibonacci-like digit) o n¨²meros de Keith, de los que nos ocupamos la semana pasada. He aqu¨ª algunos:

Repfigit de 2 d¨ªgitos:

14: 1, 4, 5, 9, 14

19: 1 ,9, 10, 19

28: 2, 8, 10, 18, 28

47: 4, 7, 11, 18, 29, 47

61: 6, 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61

75: 7, 5, 12, 17, 29, 46, 75

Repfigit de 3 d¨ªgitos:

197: 1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197

742: 7, 4, 2, 13, 19, 34, 66, 119, 219, 404, 742

Repfigit de 4 d¨ªgitos:

1.104: 1, 1, 0, 4, 6, 11, 21, 42, 80, 154, 297, 573, 1104

1.537: 1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1.537

2.208: 2, 2, 0, 8, 12, 22, 42, 84, 160, 308, 594, 1.146, 2.208

2.580: 2, 5, 8, 0, 15, 28, 51, 94, 188, 361, 694, 1.337, 2.580

3.684: 3, 6, 8, 4, 21, 39, 72, 136, 268, 515, 991, 1.910, 3.684

4.788: 4, 7, 8, 8, 27, 50, 93, 178, 348, 669, 1.288, 2.483, 4.788

7.385: 7, 3, 8, 5, 23, 39, 75, 142, 279, 535, 1.031, 1.987, 3.832, 7.385

7.647: 7, 6, 4, 7, 24, 41, 76, 148, 289, 554, 1.067, 2.058, 3.968, 7.647

7.909: 7, 9, 0, 9, 25, 43, 77, 154, 299, 573, 1.103, 2.129, 4.104, 7.909

(Para un listado completo de Repfigit de hasta 9 d¨ªgitos, ver comentarios de la semana pasada).

Como vimos, no hay ning¨²n algoritmo que permita generar n¨²meros de Keith de forma r¨¢pida, y los m¨¢s grandes hay que buscarlos mediante la fuerza bruta de potentes ordenadores, pues su distribuci¨®n no sigue ninguna pauta reconocible; en este sentido se parecen a los primos, pero son mucho m¨¢s escasos: solo hay 52 Repfigit de menos de 15 d¨ªgitos. Y, curiosamente, no hay ninguno de 10 d¨ªgitos.

Su descubridor, el matem¨¢tico e inform¨¢tico estadounidense Michael Keith, cree que hay infinitos Repfigit; pero su conjetura todav¨ªa no ha sido demostrada (ni refutada).

Siguiendo con las secuencias ¡°Fibonacci-like¡±, consideremos la siguiente:

0.1

0.01

0.002

0.0003

0.00005

0.000008

0.0000013

0.00000021

¡­.

Como se puede ver, est¨¢ formada a partir de los t¨¦rminos de la sucesi¨®n de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21¡­), de manera que la ¨²ltima cifra del t¨¦rmino n ocupa su en¨¦simo lugar decimal. Si sumamos los t¨¦rminos as¨ª generados, obtenemos 0.1123595¡­, y, curiosamente, 10/89 = 0,1123595¡­

?Se mantiene la igualdad a medida que vamos avanzando en el desarrollo de esta sucesi¨®n ¡°fibonacciana¡±? ?Qu¨¦ tiene de especial el n¨²mero 89, y qu¨¦ otra relaci¨®n guarda con la sucesi¨®n de Fibonacci?

N¨²meros par¨¢sitos

Al hablar de n¨²meros ¡°extra?os¡± e infrecuentes, como los Repfigit, no se puede dejar de mencionar los n¨²meros par¨¢sitos, tambi¨¦n llamados n¨²meros de Dyson en honor del gran f¨ªsico y matem¨¢tico brit¨¢nico Freeman Dyson, que son aquellos que al multiplicarlos por la cifra de las unidades se convierten en un n¨²mero con los mismos d¨ªgitos, pero con la cifra de las unidades trasladada al primer lugar de la izquierda; por ejemplo:

102.564 x 4 = 410.256

Si el multiplicador que produce la rotaci¨®n de cifras no es el d¨ªgito de las unidades, el n¨²mero se denomina seudopar¨¢sito; por ejemplo:

179.487 x 4 = 717.948

Los n¨²meros de Dyson est¨¢n emparentados con los c¨ªclicos. Un n¨²mero c¨ªclico es aquel cuyas permutaciones c¨ªclicas son m¨²ltiplos suyos; por ejemplo:

142.857 ¡Á 2 = 285.714

142.857 ¡Á 3 = 428.571

142.857 ¡Á 4 = 571.428

142.857 ¡Á 5 = 714.285

142.857 ¡Á 6 = 857.142

Invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar m¨¢s n¨²meros par¨¢sitos, seudopar¨¢sitos y c¨ªclicos.

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