Los misterios de los conjuntos de Sidon

En ciertas ¨¢reas de las matem¨¢ticas abundan enigmas que se formulan de un modo elemental y que, sin embargo, requieren t¨¦cnicas complejas e ideas variadas para su estudio. Un buen ejemplo es el caso de los llamados conjuntos de Sidon. En los a?os 30 del siglo pasado, el matem¨¢tico h¨²ngaro Simon Sidon estaba desarrollando ciertos trabajos en el campo del an¨¢lisis, cuando se top¨® con un tipo de conjuntos de n¨²meros que capt¨® su inter¨¦s. Sidon comparti¨® sus preguntas sobre estos conjuntos con el prol¨ªfico matem¨¢tico Paul Erd?s quien, cautivado por el tema, los llam¨® conjuntos de Sidon y les dedic¨® numerosos trabajos a lo largo de su vida.

Una colecci¨®n de n¨²meros enteros es un conjunto de Sidon si las diferencias entre distintos n¨²meros de la colecci¨®n son todas distintas entre s¨ª. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 4} es de Sidon, pues las posibles diferencias de los tres n¨²meros ¨Ces decir, 2-1 = 1, 4-2 = 2 y 4-1 = 3¨C son distintas; el conjunto {1, 3, 5}, en cambio, no es de Sidon, pues la diferencia 2 se repite dos veces (2 = 3-1 = 5-3).

Una de las primeras cuestiones que propuso Sidon a Erd?s fue la de saber cu¨¢l es el mayor tama?o ¨Ces decir, n¨²mero de elementos¨C que puede tener un conjunto de Sidon contenido en un intervalo de n¨²meros dado. Por ejemplo, dentro del intervalo [1, 35] = {1, 2, 3, ¡­, 35}, se verifica sin dificultad que el conjunto S = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, de tama?o 6, es un conjunto de Sidon, pero, ?existen conjuntos de Sidon m¨¢s grandes en este intervalo? De modo m¨¢s general, si fijamos un n¨²mero entero N, ?cu¨¢n grande puede ser un conjunto de Sidon dentro del intervalo [1, N]? Se puede definir una funci¨®n F(N), cuyo valor para cada entero N es el tama?o m¨¢ximo que puede tener un conjunto de Sidon dentro de [1, N]. As¨ª, el problema consiste en encontrar una f¨®rmula de F(N) en funci¨®n de N.

En el ejemplo anterior, el conjunto S indica que el valor de F(35) es al menos 6. Podemos mejorar esta estimaci¨®n, observando que el conjunto {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} tambi¨¦n est¨¢ en ese intervalo, tiene ocho elementos y tambi¨¦n es de Sidon, con lo cual podemos afirmar que F(35) es al menos 8. Resulta que, usando un argumento un poco m¨¢s complicado, se puede demostrar que no existe un conjunto de Sidon con 9 elementos en [1, 35], por lo que podemos concluir que F(35) es 8. Cuando N toma valores mayores, el problema de determinar F(N) se complica. De hecho, el problema de hallar una f¨®rmula general para calcular F(N), para cualquier valor de N, es uno de los enigmas centrales sobre los conjuntos de Sidon, y a¨²n hoy en d¨ªa sigue sin soluci¨®n completa, aunque recientemente se han producido avances interesantes.

Estos resultados recientes siguen una l¨ªnea importante de investigaci¨®n en este campo, que se centra en encontrar aproximaciones de F(N) con la mayor precisi¨®n posible. Como punto de partida, es sencillo ver que F(N) tiene como cota superior (2N)??? +1/2. Efectivamente, para cualquier conjunto de Sidon S en el intervalo [1, N] con F(N) elementos, se cumple que todas las diferencias (positivas) de cada par de elementos distintos de S son n¨²meros distintos, con valor entre 1 y N-1. Por tanto, no puede haber m¨¢s pares de elementos de S que n¨²meros entre 1 y N-1. Sabiendo que el n¨²mero total de estos pares es F(N) (F(N) - 1)/2, se deduce la cota superior para F(N) mencionada. Por otro lado, para n¨²meros N grandes, se han hallado construcciones de conjuntos de Sidon cuyo tama?o alcanza N???. Uniendo las dos ¨²ltimas frases, podemos afirmar que el valor exacto de F(N) est¨¢ entre N??? y (2N)??? +1/2.

Los conjuntos de Sidon generalizados a dimensi¨®n dos ¨Cconsiderando, en lugar de n¨²meros enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras¨C se pueden usar en dise?os eficientes de sistemas de sonar y de antenas, en la distribuci¨®n de claves en redes de celulares, y en criptograf¨ªa

Con m¨¢s ingenio y trabajo, Bernt Lindstr?m demostr¨® en 1969 que F(N) es siempre menor que N???+N???+1. Reducir esta cota marcadamente result¨® ser muy dif¨ªcil. Erd?s lleg¨® a ofrecer 500 $ a quien consiguiera una mejora sustancial de la cota de Lindstr?m. Durante m¨¢s de medio siglo la cuesti¨®n permaneci¨® sin gran avance hasta que, recientemente, J¨®zsef Balogh, Zolt¨¢n F¨¹redi y Souktik Roy consiguieron dar un paso notable, estableciendo la nueva cota superior N???+0.998¡¤N???+1 para F(N), a¨²n pendiente de publicaci¨®n.

Sin duda, este resultado habr¨ªa interesado mucho a Erd?s. Tambi¨¦n le habr¨ªa encantado a quien fue un gran impulsor de la teor¨ªa combinatoria de n¨²meros en Espa?a, nuestro amigo y compa?ero Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Aut¨®noma de Madrid y miembro del ICMAT, quien falleci¨® hace cinco a?os. Entre sus numerosas y variadas contribuciones, Cilleruelo obtuvo importantes resultados sobre conjuntos de Sidon que le llevaron a ser conocido como uno de los mayores expertos en este tema a nivel internacional. Sus trabajos tambi¨¦n dieron lugar a nuevas l¨ªneas de investigaci¨®n en este campo que est¨¢n en pleno auge; de hecho, recientemente investigadores del ETH Z¨¹rich, Caltech, la Universidad de Stanford y el MIT han obtenido avances significativos en estos temas.

Estos son solo algunos ejemplos de c¨®mo los conjuntos de Sidon ¨Cunas estructuras matem¨¢ticas aparentemente sencillas¨C siguen generando nuevas preguntas y avances de investigaci¨®n casi 90 a?os despu¨¦s de su descubrimiento. Es m¨¢s, este tema se extiende m¨¢s all¨¢ de la teor¨ªa de n¨²meros, con ramificaciones en otros campos y tambi¨¦n con aplicaciones tecnol¨®gicas. Por ejemplo, los conjuntos de Sidon generalizados a dimensi¨®n dos ¨Cconsiderando, en lugar de n¨²meros enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras¨C se pueden usar en dise?os eficientes de sistemas de sonar y de antenas, en la distribuci¨®n de claves en redes de celulares, y en criptograf¨ªa.

Pablo Candela es profesor en la Universidad Auto?noma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matema?ticas (ICMAT).

Juanjo Ru¨¦ es professor Agregat de la Universitat Polit¨¨cnica de Catalunya (UPC), investigador del Instituto de Matem¨¢ticas de la UPC (IMTech) e investigador del Centre de Recerca Matem¨¤tica (CRM).

?gata Tim¨®n es coordinadora de la Unidad de Cultura Matem¨¢tica del ICMAT.

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.

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