Torneos y combinaciones

Como hemos visto en alguna ocasi¨®n, el siguiente t¨¦rmino de una sucesi¨®n num¨¦rica puede ser cualquiera, ya que siempre podremos encontrar un criterio -incluso un algoritmo matem¨¢tico- que lleve a ¨¦l. Por eso se da la paradoja de que algunos ni?os superdotados obtengan bajas puntuaciones en test de secuencias num¨¦ricas porque descubren relaciones m¨¢s sutiles que las obvias. Veamos un ejemplo trivial: el siguiente t¨¦rmino de la sucesi¨®n 1, 2, 3, 4¡­ es, obviamente, 5; pero tambi¨¦n podr¨ªa ser 6, 7 u 8 (invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar los caminos que conducen a estos resultados).

Por lo tanto, las dos soluciones aportadas por los lectores como siguiente t¨¦rmino de la sucesi¨®n planteada la semana pasada en honor del nuevo a?o: 2000, 2002, 2020, 2022¡­, a saber, 2040 y 2200, son ambas v¨¢lidas, aunque el camino que conduce a la segunda es m¨¢s claro y directo, pues es el siguiente n¨²mero formado solo por ceros y doses. Otro camino (carrollianamente disparatado) para llegar a la misma soluci¨®n es hacer 2=1, con lo que tendr¨ªamos una secuencia de n¨²meros binarios sucesivos: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100¡­

En cuanto a la otra sucesi¨®n, 62, 138, 262, 446¡­, sus t¨¦rminos son 2022 en las bases 3, 4, 5 y 6 respectivamente, por lo que el siguiente t¨¦rmino ser¨¢ 2022 en base 7, o sea, 702. Julio D¨ªaz-Laviada lleg¨® a la misma soluci¨®n por un camino m¨¢s largo:

¡°La segunda sucesi¨®n parece seguir la funci¨®n 2 x? + 12x? + 26x + 22. Muy facilita, como dijo Carlo, a menos que haya alg¨²n m¨¦todo mejor¡­ f(1), f(2),f(3) y f(4) coinciden, y f(5)=702¡å.

Por lo que respeta a las propiedades del n¨²mero 2022, tal vez la m¨¢s destacable sea su ¡°abundancia¡±, como se?ala Salva Fuster:

¡°Relacionado con la voracidad y glotoner¨ªa, que quiz¨¢ d¨¦ paso a la anchura, comentar que el 2022 es abundante, pues la suma de sus divisores naturales exceptuando el propio n¨²mero es 2034. Que el 2022 os ofrezca abundancia de cosas positivas¡±. Am¨¦n. (Recordemos que un n¨²mero abundante es aquel que es menor que la suma de sus divisores sin contar el propio n¨²mero). Y tambi¨¦n cabe se?alar que 2022 forma parte de dos ternas pitag¨®ricas (en una como cateto y en la otra como hipotenusa): 2022? + 2696? = 3370?, 1728? + 1050? =2022?. Por cierto, ?qu¨¦ condici¨®n ha de cumplir un n¨²mero para poder formar parte de una terna pitag¨®rica?

De equipos y combinaciones

En la secci¨®n de comentarios de la semana pasada, Manuel Amor¨®s plante¨® un interesante problema combinatorio que dio lugar a una amplia discusi¨®n:

En un torneo por eliminatorias se presentan 2n competidores. ?Cu¨¢ntos torneos distintos pueden darse? (Ver comentarios del 62 al 98).

En la misma l¨ªnea combinatoria, he aqu¨ª un problema planteado recientemente en los ex¨¢menes de acceso a la universidad en Turqu¨ªa, y que fue calificado de ¡°endiablado¡± por los sufridos examinandos (aunque seguro que mis sagaces lectoras/es no lo encontrar¨¢n tan dif¨ªcil):

Un equipo de 100 personas aborda un cierto n¨²mero de proyectos. Todas las personas del equipo participan en un mismo n¨²mero de proyectos, y a ninguna le corresponde la misma combinaci¨®n de proyectos que a otra. Esto no ser¨ªa posible si cada persona se ocupara de 3 proyectos, pero s¨ª lo es si cada una se ocupa de 4. ?Cu¨¢ntos proyectos hay en total, sabiendo que son m¨¢s de 5 y no m¨¢s de 10?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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