Los renos de Pap¨¢ Noel

La forma de recubrir el tablero de ajedrez con tromin¨®s rectos mostrada la semana pasada es ¨²nica: el recubrimiento de todas las casillas menos una solo es posible dejando libre la de la tercera fila y la tercera columna (o cualquiera de las tres obtenibles mediante giros de 90?, obviamente, es decir, sus sim¨¦tricas especulares y con respecto al centro). Manuel Amor¨®s aport¨® la siguiente demostraci¨®n:

¡°Cada fila (excepto la 1?) tiene ocho casillas que deben ser ocupadas, o bien por tromin¨®s horizontales o cruzadas por verticales. Como el 8 da resto 2 al dividirlo por 3, el n¨²mero de tromin¨®s verticales que crucen una fila deben dar de resto tambi¨¦n 2. Podemos aplicar dicho razonamiento contando la cantidad de tromin¨®s verticales que cruzan cada fila y viendo que deben ser congruentes con 2 en m¨®dulo 3 (excepto en la fila que haya hueco). En el siguiente dibujo se observa que las condiciones anteriores no son compatibles para un hueco en la primera fila y s¨ª lo son para un hueco en la 3?; como el razonamiento se aplica en las dos direcciones, se sigue que para que haya soluci¨®n el hueco debe estar en la 3? fila y columna¡±.

En cuanto al cl¨¢sico del tablero de ajedrez al que le faltan dos esquinas opuestas, recordemos, por si alguien a¨²n no lo conoce, que, al ser del mismo color las esquinas faltantes, es imposible recubrir el tablero con 31 fichas de domin¨®, ya que cada ficha recubre dos casillas de distinto color, y en el tablero mutilado hay 32 de un color y 30 del otro.

?Renos o renas?

Puesto que este art¨ªculo, salvo error u omisi¨®n, se publicar¨¢ el 24 de diciembre, parece obligado darle un cierto tono navide?o. Y pocas cosas resultan tan evocadoras de la Navidad como los renos voladores del trineo de Pap¨¢ Noel.

Seg¨²n la tradici¨®n, son nueve, y se los (o las, como veremos) conoce internacionalmente por sus nombres en ingl¨¦s: Rudolph, Dasher, Dancer, Vixen, Prancer, Cupid, Comet, Blitzen y Donner. Pese a estar muy difundida la creencia popular de que cinco son machos y cuatro son hembras (?cu¨¢les dir¨ªas que son los machos?), hay poderosos argumentos zool¨®gicos para pensar que todos son hembras (?por qu¨¦?). De ser as¨ª, Rudolph, el de la nariz roja, deber¨ªa llamarse Rudolpha (nombre que, seg¨²n algunos, ostenta su supuesta hermana gemela de nariz verde).

Si ignoramos los argumentos zool¨®gicos y damos por buena la proporci¨®n cinco-cuatro, y teniendo en cuenta que Rudolph siempre va en cabeza, ?de cu¨¢ntas maneras distintas puede formarse el tiro del trineo de Pap¨¢ Noel de modo que los/as ocho renos restantes siempre vayan emparejados (un macho y una hembra cualesquiera uno al lado de otra)? ?Y con los cuatro machos a un lado y las cuatro hembras al otro? ?Y si Rudolph cediera el liderazgo a cualquier otro macho?

Pero vayamos a lo que importa, que no es el reparto de los renos sino el de los juguetes. A la hora de planificar su periplo por las 15 comunidades aut¨®nomas peninsulares, visitando una sola vez cada comunidad, ?entre cu¨¢ntos itinerarios posibles tendr¨¢ que elegir Pap¨¢ Noel?

Y para subir nota: ?cu¨¢l es el itinerario m¨¢s corto, si parte de Madrid? ?Puede acortar el itinerario partiendo de otra comunidad? Para simplificar, y puesto que Pap¨¢ Noel va volando, consideraremos los itinerarios que unen entre s¨ª las capitales de las respectivas comunidades en l¨ªnea recta.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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