N¨²meros McNugget

Con respecto al problema de Frobenius, expuesto la semana pasada, he aqu¨ª la aportaci¨®n de Luca Tanganelli:

¡°Con monedas de 3 y 5, los n¨²meros n ¡Ý 10 de la forma 3k+1 se pueden obtener como 3(k¨C3)+5*2.

Los n¨²meros n ¡Ý 5 de la forma 3k+2 se obtienen con 3(k¨C1)+5.

Esto deja como n¨²mero de Frobenius al 7.

Generalizando, sean a y b, a¡Üb, las dos monedas. Si a y b tienen factor com¨²n es evidente que no existe n¨²mero de Frobenius.

Si a y b son coprimos, entonces los a*i son distintos mod b para todo 0 ¡Ü i ¡Ü b¨C1 y similarmente para los b*j, con 0 ¡Ü j ¡Ü a¨C1.

Esto significa que todo n¨²mero mayor o igual que a(b¨C1) o mayor o igual que b(a¨C1) podr¨¢ expresarse bajo la forma ax+by. Como a¡Üb, se tiene que f ¡Ü ab¨Cb¨C1, que no est¨¢ mal como cota¡±.

Con hipot¨¦ticas monedas de 7 y 9 euros, las cantidades enteras que no podr¨ªamos pagar con solo monedas de dichos valores sin que tuvieran que darnos cambio son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26, 29, 31, 33, 38, 40 y 47, por lo que el n¨²mero de Frobenius para 7 y 9 es 47 (dejo a mis sagaces lectoras/es la comprobaci¨®n de este resultado).

En cuanto a la paradoja de Bertrand, Francisco Montesinos aporta un ingenioso enfoque que da el valor 1/4 para la probabilidad de que una cuerda trazada al azar en una circunferencia sea mayor que el lado del tri¨¢ngulo equil¨¢tero inscrito:

Si trazamos el c¨ªrculo inscrito en el tri¨¢ngulo, el punto medio de una cuerda cualquiera quedar¨¢ o bien dentro de ese c¨ªrculo o bien fuera, y cuando quede dentro la cuerda ser¨¢ mayor que el lado del tri¨¢ngulo. Como el radio del c¨ªrculo inscrito es la mitad que el del circunscrito, su ¨¢rea ser¨¢ cuatro veces menor, por lo tanto, la probabilidad de que una cuerda sea mayor que el lado del tri¨¢ngulo es 1/4 (en el caso de que la cuerda sea tangente al c¨ªrculo inscrito, su longitud ser¨¢ igual a la del lado del tri¨¢ngulo).

N¨²meros indigestos

Mientras estaba cenando con su hijo en un McDonald¡¯s, al matem¨¢tico y experto en puzles Henri Picciotto se le ocurri¨® una variante de los n¨²meros de Frobenius que se hizo popular como ¡°n¨²meros McNugget¡± (que no puedo dejar de mencionar por m¨¢s que deplore que se contamine el sagrado ¨¢mbito de las matem¨¢ticas con una referencia a la comida basura). Parece ser que los McNuggets se serv¨ªan en cajas de 6, 9 y 20 unidades, y cualquier cantidad de estos indigestos bocaditos que pudiera obtenerse adquiriendo cajas de estas fue denominada por Picciotto un n¨²mero McNugget. Y la frobeniusiana cuesti¨®n es: ?cu¨¢l es el m¨¢ximo n¨²mero de McNuggets que no se pueden obtener combinando estos tres tipos de cajas?

Actualmente las cajas de McNuggets son de 4, 6 y 9 piezas (supongo que eliminaron las de 20 por orden de las autoridades sanitarias); ?cu¨¢l es ahora el n¨²mero de Frobenius-McNugget?

Obs¨¦rvese que en este caso se parte de tres n¨²meros, y no de dos, para hallar el n¨²mero de Frobenius relativo a ellos, lo cual puede complicar extraordinariamente la situaci¨®n; tanto, que no se conoce una f¨®rmula general que permita hallar directamente los n¨²meros de Frobenius correspondientes a tres o m¨¢s n¨²meros de partida.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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