La moneda de Frobenius

La probabilidad de que algo ocurra viene dada por la relaci¨®n entre los casos favorables y los casos posibles, y as¨ª se expresa a nivel coloquial cuando se habla, por ejemplo, de ¡°una probabilidad entre mil¡±. En matem¨¢ticas se dice lo mismo, pero en forma de fracci¨®n: as¨ª, hay una probabilidad entre seis de sacar un 5 al lanzar un dado, y por eso decimos que dicha probabilidad es 1/6 (o sea, una sexta parte de las posibilidades en juego).

Pero no siempre es f¨¢cil evaluar los casos favorables y/o los casos posibles. El error de d¡¯Alembert mencionado la semana pasada consisti¨® en no darse cuenta de que los tres casos posibles: cara-cara, cara-cruz, cruz-cruz, no son igualmente probables (equiprobables, en la jerga matem¨¢tica), pues dos caras o dos cruces solo pueden salir de una manera -si ambas monedas caen del mismo lado- mientras que la combinaci¨®n de una cara y una cruz puede salir de dos maneras: cara en la primera moneda y cruz en la segunda o viceversa. Por lo tanto, en realidad los casos posibles son cuatro: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz. En tres de estos casos hay al menos una cara, por lo que la probabilidad pedida es 3/4, y no 2/3 como estim¨® d¡¯Alembert.

En cuanto a la paradoja de Bertrand, la figura de la semana pasada sugiere que la probabilidad de trazar al azar una cuerda mayor que el lado del tri¨¢ngulo equil¨¢tero inscrito es 1/3, ya que las cuerdas azules ocupan dos de los tres arcos iguales en que el tri¨¢ngulo divide la circunferencia, mientras que a las verdes solo les corresponde uno. Pero tambi¨¦n podr¨ªamos enfocarlo as¨ª:

Consideremos un radio perpendicular a un lado del tri¨¢ngulo inscrito. Todas las cuerdas perpendiculares a dicho radio que quedan entre el centro de la circunferencia y el lado del tri¨¢ngulo son mayores que ¨¦l, y todas las que quedan entre el lado y el otro extremo del radio son inferiores. Y como el lado del tri¨¢ngulo equil¨¢tero inscrito divide al radio en dos partes iguales, ahora las cuerdas verdes de la figura abarcan el mismo espacio que las azules, y por tanto la probabilidad pedida ser¨¢ 1/2. Y tambi¨¦n hay otros enfoques posibles con distintos resultados (invito a mis sagaces lectoras/es a buscar un planteamiento en el que la probabilidad pedida resulte -o parezca- ser 1/4).

Por lo que respecta al hagad¨¢ de los caminantes sudorosos, de lo que se trata (seg¨²n le explica el rabino a su disc¨ªpulo) es de cuestionar el enunciado: puesto que llevan el mismo tiempo caminando bajo el sol por un sendero polvoriento, ?c¨®mo es posible que uno de ellos tenga la cara sucia y el otro la conserve limpia?

El problema de la moneda

De la moneda de d¡¯Alembert podemos pasar a la de otro ilustre matem¨¢tico, Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), que hizo importantes aportaciones a la teor¨ªa de grupos y es conocido sobre todo por el denominado ¡°problema de la moneda¡± (o, en su honor, ¡°problema de Frobenius¡±), que consiste en hallar la mayor cantidad de dinero que no puede obtenerse utilizando solo monedas (y/o billetes) de un determinado valor; esa cantidad m¨¢xima es el n¨²mero de Frobenius para ese conjunto de monedas. Por ejemplo, con monedas de 2 euros y billetes de 5, el n¨²mero de Frobenius es 3, ya que toda cantidad par se puede obtener con monedas de 2 y toda cantidad impar mayor que 3 se puede expresar de la forma 5+2n, por lo que con un billete de 5 y monedas de 2 podemos pagar cualquier cantidad entera de euros (excepto 1 y 3) sin que tengan que darnos cambio.

Los casos con monedas reales son muy simples, as¨ª que invito a mis sagaces lectoras/es a hallar el n¨²mero de Frobenius para hipot¨¦ticas monedas de 3 y 5 euros, de 7 y 9 u otras parejas at¨ªpicas.

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯.

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