El problema m¨¢s dif¨ªcil

Los n¨²meros esf¨¦nicos, de los que nos ocupamos la semana pasada, tienen todos ellos ocho y solo ocho divisores, pues, al ser el producto de tres primos distintos, son de la forma n = p.q.r, por lo que sus divisores ser¨¢n, adem¨¢s del 1 y el propio n¨²mero, los tres factores primos m¨¢s las tres combinaciones binarias de estos primos, o sea: 1, p, q, r, p.q, p.r, q.r, n.

Como vimos, puede haber dos e incluso tres n¨²meros esf¨¦nicos consecutivos; pero no puede haber cuatro, puesto...

Los n¨²meros esf¨¦nicos, de los que nos ocupamos la semana pasada, tienen todos ellos ocho y solo ocho divisores, pues, al ser el producto de tres primos distintos, son de la forma n = p.q.r, por lo que sus divisores ser¨¢n, adem¨¢s del 1 y el propio n¨²mero, los tres factores primos m¨¢s las tres combinaciones binarias de estos primos, o sea: 1, p, q, r, p.q, p.r, q.r, n.

Como vimos, puede haber dos e incluso tres n¨²meros esf¨¦nicos consecutivos; pero no puede haber cuatro, puesto que uno de cada cuatro n¨²meros consecutivos es m¨²ltiplo de 4, y por lo tanto, contiene el factor 2 repetido, y, por definici¨®n, un n¨²mero esf¨¦nico es el producto de tres primos distintos.

La conjetura de Goldbach

Parece ser que cualquier n¨²mero par mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos primos (no necesariamente distintos):

4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 3+11 = 7+7¡­

Si tomamos la sucesi¨®n de los n¨²meros primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17¡­) y los vamos emparejando ordenadamente de todas las maneras posibles, consigo mismos y con los dem¨¢s (y prescindiendo del 2 tras usarlo para obtener el 4), al sumar los dos miembros de cada pareja vamos obteniendo los sucesivos n¨²meros pares. Y puesto que cuanto mayor es un n¨²mero, m¨¢s maneras distintas hay de expresarlo como la suma de otros dos, parece claro que siempre podremos descomponer un n¨²mero par en dos sumandos impares que adem¨¢s sean primos.

Parece claro, y la mayor¨ªa de los matem¨¢ticos est¨¢n convencidos de que as¨ª es; pero hasta ahora nadie ha podido demostrarlo. Todo empez¨® cuando, en 1742, el matem¨¢tico prusiano Christian Goldbach le escribi¨® a Euler una carta en la que lo invitaba a encontrar una demostraci¨®n de esta suposici¨®n tan razonable, casi evidente, conocida desde entonces como la conjetura de Goldbach. Pero el gran Euler, al que nunca se le resist¨ªa un problema relacionado con los n¨²meros, fue incapaz de hallar una demostraci¨®n, y todos los que lo han intentado tras ¨¦l, que han sido legi¨®n, han fracasado.

La fuerza bruta de los ordenadores ha demostrado que la conjetura de Goldbach se cumple para todos los n¨²meros pares inferiores a cien trillones (un 1 seguido de veinte ceros); pero esto, frente al infinito, no es nada, y aunque la mayor¨ªa de los matem¨¢ticos creen que la conjetura es cierta, algunos opinan que los n¨²meros primos muy grandes podr¨ªan depararnos m¨¢s de una sorpresa. Y, por otra parte, nadie ha podido encontrar un contraejemplo, es decir, un n¨²mero par no expresable como la suma de dos primos, lo que demostrar¨ªa que la conjetura es err¨®nea. Un problema aparentemente trivial, cuya comprensi¨®n est¨¢ al alcance de un ni?o, y que ha resultado ser uno de los m¨¢s dif¨ªciles de la historia de las matem¨¢ticas (el m¨¢s dif¨ªcil, seg¨²n algunos).

Como vimos la semana pasada, en 1973 el matem¨¢tico chino Chen Jingrun demostr¨®, utilizando la teor¨ªa de cribas, el teorema que lleva su nombre, seg¨²n el cual todo n¨²mero par lo suficientemente grande puede expresarse como la suma de dos primos o de un primo y un semiprimo (recordemos que un semiprimo es el producto de dos primos, no necesariamente distintos, como 9 = 3x3 o 77 = 7x11), lo que podr¨ªa ser un primer paso hacia la demostraci¨®n de la conjetura de Goldbach. Ahora solo falta dar los pasos siguientes.

Y para terminar, y en consonancia con el tema, el metaproblema m¨¢s dif¨ªcil:

?En qu¨¦ se diferencia esta entrega de El juego de la ciencia de todas las anteriores?

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