(Dicen que) han demostrado la conjetura de Goldbach. Otra vez

Parte del trabajo de los investigadores (como miembros de comit¨¦s editoriales de revistas cient¨ªficas) es validar la producci¨®n de sus colegas. Los expertos en teor¨ªa de n¨²meros, adem¨¢s, reciben peticiones para valorar decenas de demostraciones de grandes enigmas matem¨¢ticos, realizadas por personas ajenas al ¨¢rea. La aparente sencillez de los conceptos y del lenguaje de este campo (los n¨²meros y las relaciones aritm¨¦ticas) lo hacen especialmente atractivo a los matem¨¢ticos amateur. Una de las conjeturas que m¨¢s veces hemos visto?demostrada (nunca de forma correcta, as¨ª sigue siendo un problema abierto) es la de Goldbach.

Christian Goldbach la formul¨® en una carta dirigida a Leonhard Euler con fecha del 7 de junio de 1742. Se trata de un pintoresco y dif¨ªcil problema aritm¨¦tico, basado en la afirmaci¨®n de que todo n¨²mero par mayor que dos pueda ser obtenido como suma de dos n¨²meros primos. Por ejemplo: 4 = 2+2, 6= 3+3, 8=3+5,¡­, 65568=31+65537. Parece sencillo, pero hacer esta descomposici¨®n con el n¨²mero 1234567891234567890, o con otro que tenga cien cifras, o mil, o un mill¨®n, empieza a ser mucho m¨¢s dif¨ªcil. M¨¢s de dos siglos despu¨¦s nadie ha conseguido probar que esta propiedad sea cierta o falsa de manera general. En sus m¨²ltiples intentos, se han inventado diversos m¨¦todos ingeniosos, y anal¨ªticamente complicados, con los que se ha logrado demostrar versiones?d¨¦biles de la conjetura, por ejemplo, que todo impar mayor que siete es la suma de tres primos, o que todo par es la suma de un primo y un casiprimo (un n¨²mero que tiene, a lo m¨¢s, dos factores primos).

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Quienquiera que est¨¦ interesado en el problema puede, con cierto esfuerzo eso s¨ª, hacerse con ese rico caudal de ideas para, entendi¨¦ndolas mejor o potenci¨¢ndolas un poco, intentar ir m¨¢s all¨¢ de lo conocido y, ?por qu¨¦ no?, resolverlo. Pero, en cualquier caso, el procedimiento establecido de comunicaci¨®n de un hallazgo de esa naturaleza conlleva siempre la discusi¨®n entre los expertos antes de hacerlo p¨²blico y salir a la palestra medi¨¢tica.

Ocurre que la sencillez del enunciado induce a muchos?aficionados a atacarlo a cuerpo gentil, sin una s¨®lida base matem¨¢tica. El resultado es que los departamentos de matem¨¢ticas del mundo y los consejos editoriales de nuestras revistas, se ven con mucha frecuencia expuestos a unos escritos sin demasiado fundamento en los que sus autores creen haber resuelto el enigma y aspiran al correspondiente trozo de gloria matem¨¢tica. En la mayor¨ªa de los casos, basta con una simple ojeada para detectar la sinraz¨®n del argumento, y la ingenuidad pretenciosa de los autores.

A este respecto, el medallista Fields Terence Tao, quien, a prop¨®sito, ha hecho avances significativos en la conjetura de Golbach, escribi¨® una serie de caracter¨ªsticas (que podr¨ªamos llamar el test de Tao) que tiene que cumplir un art¨ªculo para ser enviado a un referee profesional. Estas incluyen que el paper est¨¦ libre de errores evidentes (matem¨¢ticos y gramaticales); que est¨¦ escrito en un formato matem¨¢tico profesional (no valen los textos en Word ni en Excel, ha de utilizarse un gestor de texto matem¨¢tico, como el LaTeX); y que incluya referencias a la bibliograf¨ªa relevante m¨¢s reciente.

Seg¨²n cuenta, tuvo que establecer estos filtros para poner freno a la cantidad de art¨ªculos que recib¨ªa, como editor de la revista de la American Mathematical Society, sobre problemas abiertos famosos (hip¨®tesis de Riemann, conjetura de Goldbach, regularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, etc.), o sobre teoremas populares (el ¨²ltimo teorema de Fermat, el teorema de los cuatro colores, teoremas de Cantor, G?del...) Hay otras listas, como la del profesor de la Universidad de Texas Scott Aaronson (Diez se?ales que indican que una demostraci¨®n matem¨¢tica es err¨®nea), que merece la pena considerar para evitar p¨¦rdidas de tiempo.

Menci¨®n aparte merecen las argumentaciones intencionadamente falsas. Un caso c¨¦lebre fue el del f¨ªsico matem¨¢tico Alan Sokal, autor del libro ¡°Imposturas intelectuales¡±. Sokal denunci¨® el relativismo posmoderno en las ciencias sociales, despu¨¦s de poner en evidencia a una de las grandes revistas del campo, consiguiendo que publicaran un art¨ªculo ¡°plagado de sinsentidos, siempre y cuando: a) Suene bien; y b) apoye los prejuicios ideol¨®gicos de los editores¡±. Algunos de estos escritos, que mezclan las leyes de Boole, la axiom¨¢tica de conjuntos, la hip¨®tesis de Riemann y el problema de Goldbach, pudieran muy bien tratarse de una broma en la estela de Sokal.

Antonio C¨®rdoba (UAM-ICMAT) y ?gata Tim¨®n (ICMAT)

Caf¨¦ y Teoremas es una secci¨®n dedicada a las matem¨¢ticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los ¨²ltimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matem¨¢ticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar caf¨¦ en teoremas. El nombre evoca la definici¨®n del matem¨¢tico h¨²ngaro Alfred R¨¦nyi: ¡°Un matem¨¢tico es una m¨¢quina que transforma caf¨¦ en teoremas¡±.