N¨²meros esf¨¦nicos

Los 20 primeros t¨¦rminos de la sucesi¨®n de las vacas de Narayana, puesto que siguen la pauta V(n) = V(n-1) + V(n-3) ¡ªmuy similar a la de Fibonacci, en la que F(n) = F(n-1) + F(n-2)¡ª son los siguientes:

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872¡­

Por lo tanto, al comienzo del a?o 21 habr¨¢ 872 + 406 = 1278 vacas.

La tabla ¡°mutilada¡± de la semana pasada, completa, es esta:

Est¨¢ tomada de un excelente art¨ªculo de Rafael Ib¨¢?ez en el Cuaderno de Cultura Cient¨ªfica de UPV/EHU, y muestra que la segunda generaci¨®n de vacas se corresponde con la sucesi¨®n de los n¨²meros naturales (1, 2, 3, 4, 5¡­); la tercera, con la sucesi¨®n de los n¨²meros triangulares; la cuarta, con la de los n¨²meros tetra¨¦dricos¡­

Esf¨¦nicos y semipimos

Es probable que al leer el t¨ªtulo te hayas acordado del hueso esfenoides. Y es que el nombre del hueso y el de los n¨²meros comparten etimolog¨ªa: del griego sphen, que significa cu?a (en el caso del hueso craneal, el nombre est¨¢ justificado porque tiene forma de cu?a; pero ?por qu¨¦ los n¨²meros esf¨¦nicos se llaman as¨ª?).

Como vimos la semana pasada, 2023 es casi esf¨¦nico, porque es el producto de tres primos: 2023 = 7 x 17 x 17; pero el 17 est¨¢ repetido, y los n¨²meros esf¨¦nicos son producto de tres primos diferentes. El menor de ellos, por tanto, es 2 x 3 x 5 = 30; y el m¨¢s grande conocido es el producto de los tres primos mayores, producto que, por el momento, es del orden de 2 elevado a la potencia 123 millones.

Y hablando de n¨²meros enormes, 2023!, aunque no sea ni remotamente comparable a nuestro esfenicus maximus, tampoco es manco: es un n¨²mero de 5812 d¨ªgitos, cuya primera cifra es un 3 (?por qu¨¦?) y terminado en muchos ceros, cuyo n¨²mero exacto nos da Manuel Amor¨®s: ¡°Para hallar el n¨²mero de ceros de 2023! basta calcular la parte entera de 2023/5 + p. e. 2023/5? + p. e. 2023/5? + p. e. 2023/5? = 404 + 80 + 16 + 3 = 503¡å.

La sucesi¨®n de los n¨²meros esf¨¦nicos comienza as¨ª:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154¡­

Es f¨¢cil comprobar que todos estos n¨²meros tienen exactamente ocho divisores (incluyendo el 1 y el propio n¨²mero), ?por qu¨¦?

Puede haber dos n¨²meros esf¨¦nicos consecutivos, como 230 = 2 x 5 x 23 y 231 = 3 x 7 x 11 (?puedes encontrar otra pareja?), e incluso tres: 1309 = 7 x 11 x 17, 1310 = 2 x 5 x 131 y 1311 = 3 x 19 x 23; pero no puede haber cuatro n¨²meros esf¨¦nicos consecutivos, ?por qu¨¦?

Y al hablar de los n¨²meros esf¨¦nicos es obligado mencionar tambi¨¦n los semiprimos (denominados tambi¨¦n biprimos), que son producto de dos primos (que pueden ser iguales, al contrario de lo que ocurre con los n¨²meros esf¨¦nicos, cuyos tres factores han de ser distintos).

Los semiprimos menores de 100 son:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, y 95

Como hemos visto al hablar de criptograf¨ªa, los grandes semiprimos son utilizados frecuentemente para cifrar mensajes, dada la dificultad de descomponer en sus factores el producto de dos primos muy grandes.

En 1966, a vueltas con la conjetura de Goldbach, el matem¨¢tico chino Chen Jingrun demostr¨® que todo n¨²mero par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como la suma de un primo y un semiprimo. Pero ese es otro art¨ªculo.

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