Ecuaciones diof¨¢nticas

El primer problema de la semana pasada es f¨¢cil de resolver mentalmente, sin m¨¢s que darse cuenta de que el primer pastor tiene 2 ovejas m¨¢s que el segundo, y a partir de ah¨ª un breve tanteo lleva a la soluci¨®n: 7 y 5. Pero su misma obviedad lo hace adecuado como introducci¨®n a las ecuaciones de primer grado, pues si llamamos x al n¨²mero de ovejas del primer pastor e y al n¨²mero de ovejas del segundo, obtenemos el sencillo sistema:

x + 1 = 2(y ¨C 1)

x ¨C 1 = y + 1

An¨¢logamente, el segundo problema puede servir de introducci¨®n a las ecuaciones diof¨¢nticas, es decir, aquellas que han de tener soluciones enteras. Si llamamos x al n¨²mero de ovejas con las cuatro patas e y al n¨²mero de ovejas cojas, tenemos que 4x + 3y = 59, y adem¨¢s sabemos que hay varias ovejas cojas y que su n¨²mero es inferior al de ovejas enteras, lo cual limita las soluciones posibles a una. ?Cu¨¢ntas ovejas hay en total?

Y el tercer problema nos lleva de las ecuaciones de primer grado a las de segundo: puesto que el precio en euros de una oveja es igual al n¨²mero de ellas, que llamaremos x, el hato se ha vendido por x? euros. Como el hermano mayor cobra un billete de 10 euros m¨¢s que el menor, el n¨²mero de billetes recibidos es impar, o sea, de la forma 2n + 1 (siendo n un n¨²mero natural), y como adem¨¢s han recibido un pico en monedas de 1 euro, tenemos que x? = 10(2n + 1) + m, siendo m un n¨²mero natural menor que 10; por lo tanto, x? tiene un n¨²mero impar de decenas. Si desglosamos x en sus decenas y unidades, podemos ponerlo en la forma x = 10y + z, con z<10, de donde x? = 100y? + z?+ 20yz = 20(5y? + yz) + z? . Y puesto que x? tiene un n¨²mero impar de decenas, lo mismo ha de ocurrir con z?; pero z es un n¨²mero de una sola cifra, y los ¨²nicos cuyos cuadrados tienen decenas impares son 4 y 6: 4? = 16, 6? = 36. En ambos casos los cuadrados terminan en 6, luego el pico que se llev¨® el hermano menor es de 6 euros, y como el mayor se llev¨® el ¨²ltimo billete de 10, le tiene que dar 2 euros a su hermano para que ambas partes sean iguales.

El testamento del jeque

Nuestro comentarista habitual Juan Jos¨¦ Rodr¨ªguez trajo oportunamente a colaci¨®n un cl¨¢sico de los acertijos diof¨¢nticos:

Un jeque deja en herencia a sus tres hijos 17 camellos, que, seg¨²n reza su testamento, deber¨¢n repartirse del siguiente modo: el hijo mayor se llevar¨¢ 1/2 del reba?o, el mediano 1/3 y el menor 1/9. Como 17 no es divisible, los tres hermanos est¨¢n perplejos sin saber qu¨¦ hacer. En eso llega un mul¨¢ montado en su camello y, al enterarse de su problema, les dice:

¡ªNo os preocup¨¦is, yo os doy mi camello para que pod¨¢is efectuar el reparto, pues 18 es divisible por 2, por 3 y por 9.

¡ªNo podemos aceptarlo, sabio y generoso mul¨¢ ¡ªreplican los hermanos, pero ¨¦l insiste:

¡ªAl¨¢ es m¨¢s sabio y premiar¨¢ mi generosidad.

As¨ª que el mayor se lleva la mitad de los 18 camellos, o sea, 9, el mediano un tercio, o sea, 6, y el menor un noveno, o sea, 2. Y sobra el camello del mul¨¢, que vuelve a montar en ¨¦l y sigue su camino. ?Cu¨¢l es la explicaci¨®n de esta curiosa an¨¦cdota? Otros¨ª: ?se respeta estrictamente la voluntad del jeque o la soluci¨®n del mul¨¢ se aparta de ella de alguna manera?

Y puesto que llevamos un buen rato hablando de ecuaciones, la metapregunta de rigor: ?qu¨¦ es una ecuaci¨®n? ?C¨®mo la definir¨ªas con una sola palabra? ?C¨®mo la visibilizar¨ªas con un s¨ªmil f¨ªsico?

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