El manicomio del doctor Brea y el profesor Pluma

Calcular el volumen de nuestra pir¨¢mide trirrectangular de la semana pasada es muy sencillo: basta recordar que el volumen de una pir¨¢mide es un tercio del ¨¢rea de la base por la altura, y que, aunque la base ¡°oficial¡± sea el tri¨¢ngulo mayor (el formado por las tres hipotenusas), podemos tomar como base cualquiera de las caras, por ejemplo, el tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de catetos a y b; el tercer cateto, c, ser¨¢ la altura, y, por tanto, el volumen ser¨¢ V = ab/2 x c/3 = abc/6. A partir ...

Calcular el volumen de nuestra pir¨¢mide trirrectangular de la semana pasada es muy sencillo: basta recordar que el volumen de una pir¨¢mide es un tercio del ¨¢rea de la base por la altura, y que, aunque la base ¡°oficial¡± sea el tri¨¢ngulo mayor (el formado por las tres hipotenusas), podemos tomar como base cualquiera de las caras, por ejemplo, el tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de catetos a y b; el tercer cateto, c, ser¨¢ la altura, y, por tanto, el volumen ser¨¢ V = ab/2 x c/3 = abc/6. A partir de aqu¨ª, es f¨¢cil, aunque engorroso, calcular la altura h correspondiente a la base mayor: si llamamos S al ¨¢rea de dicha base, tendremos que:

V = Sh/3 = abc/6, de donde h = abc/2S

Podemos calcular S a partir de los tres lados del tri¨¢ngulo formado por las tres hipotenusas: ¡Ì(a2+b2), ¡Ì(a2+c2), ¡Ì(b2+c2), aplicando la f¨®rmula de Her¨®n:

S = ¡Ì[s(s-a)(s-b)(s-c)] , donde s es el semiper¨ªmetro del tri¨¢ngulo: (a+b+c)/2

Esta es la forma conceptualmente m¨¢s sencilla de hallar h; pero en la secci¨®n de comentarios de la semana pasada encontrar¨¢s otras m¨¢s sutiles propuestas por nuestros sagaces comentaristas habituales.

Y como abc es el volumen de un ortoedro de aristas a, b y c, cabe plantear el siguiente rompecabezas geom¨¦trico: con seis tetraedros trirrect¨¢ngulos de catetos 1, 2 y 3, componer un ortoedro de 1x2x3 (y/o cualquier otro s¨®lido compacto de volumen igual a 6 unidades c¨²bicas).

Un manicomio de locos

Y hablando de nuestros sagaces comentaristas habituales, no han prestado ninguna atenci¨®n a los acertijos de la dama y el tigre, tal vez por considerarlos demasiado f¨¢ciles, as¨ª que insistir¨¦ con otro del mismo tipo un poco m¨¢s complicado (a la par que siniestro).

El m¨¦todo del doctor Brea y el profesor Pluma no est¨¢ entre los relatos m¨¢s conocidos de Edgar Allan Poe, pero s¨ª entre los m¨¢s inquietantes. Y bas¨¢ndose en ¨¦l, Raymond Smullyan compuso un acertijo no menos perturbador:

El inspector Craig, de Scotland Yard, visit¨® un manicomio dirigido por el doctor Brea y el profesor Pluma, en el que tambi¨¦n resid¨ªan otros m¨¦dicos, junto con un cierto n¨²mero de pacientes. A un residente se le llamaba ¡°peculiar¡± si cre¨ªa que era un paciente, y ¡°especial¡± si todos los pacientes cre¨ªan que era peculiar y ning¨²n m¨¦dico lo cre¨ªa. Craig descubri¨® que al menos un residente estaba cuerdo y que se cumpl¨ªa la siguiente condici¨®n: cada residente ten¨ªa un amigo ¨ªntimo, y dado cualquier par de residentes, A y B, si A cre¨ªa que B era especial, el amigo ¨ªntimo de A cre¨ªa que B era un paciente. Tras este descubrimiento, Craig se entrevist¨® en privado con el doctor Brea y con el profesor Pluma. He aqu¨ª lo que habl¨® con el primero:

-D¨ªgame, doctor Brea, ?est¨¢n cuerdos todos los m¨¦dicos de este manicomio?

-?Pues claro!

-?Y los pacientes, est¨¢n todos locos?

-Al menos uno lo est¨¢.

A continuaci¨®n, Craig mantuvo con el profesor Pluma el siguiente di¨¢logo:

-Dice el doctor Brea que al menos uno de los pacientes est¨¢ loco, ?es eso cierto?

-?Claro que es cierto, todos los pacientes est¨¢n locos!

-?Y los m¨¦dicos, est¨¢n todos cuerdos?

-Al menos uno lo est¨¢.

-?Est¨¢ cuerdo el doctor Brea?

-?Pues claro! ?C¨®mo se atreve a preguntarme una cosa as¨ª?

Sabiendo que todas las creencias de los cuerdos son acertadas y todas las de los locos son err¨®neas, y que unos y otros son plenamente sinceros y siempre dicen lo que creen, ?a qu¨¦ conclusi¨®n lleg¨® el inspector Craig?

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