Equiedros

En relaci¨®n con nuestro ap¨®crifo teorema de Napole¨®n III de la semana pasada, he aqu¨ª lo que dice Alberto Ad¨¢n para el caso particular en el que el tetraedro de partida es regular:

¡°El volumen del tetraedro (B) formado por los centros de sendos tetraedros superpuestos sobre las caras de un tetraedro regular (A) es el mismo que el volumen del tetraedro de partida, es decir, A y B son del mismo tama?o. Razonamiento: en un tetraedro regular, la distancia desde su centro hasta un v¨¦rtice (Dv) es el doble de la distancia desde su centro hasta el centro de una cara (Dc), o sea Dv = 2 ¡Á Dc . Los tetraedros A y B tienen su centro en el mismo punto. La distancia del centro hasta el v¨¦rtice de B es igual a DvB = DcA (del centro de A al centro de su cara) + DcA (del centro de la cara al centro del tetraedro superpuesto a esa cara, que es un v¨¦rtice de B) = 2 ¡Á DcA = DvA. Es decir, DvB = DvA, as¨ª que los tetraedros A y B tienen el mismo tama?o¡±.

Si el tetraedro de partida no es regular sino solo equi¨¦drico (con las cuatro caras iguales, pero no regulares), hallar el correspondiente ¡°tetraedro de Napole¨®n¡± es bastante m¨¢s complicado (tanto que ning¨²n lector se ha animado a abordar la cuesti¨®n, que por lo tanto queda pendiente). Cabe preguntarse, de entrada, si a partir de cualquier tri¨¢ngulo se puede construir un tetraedro cuyas cuatro caras sean iguales al mismo, ?puedes demostrar que es as¨ª o encontrar un contraejemplo?

?Y si el tri¨¢ngulo de partida es un tri¨¢ngulo egipcio? Recordemos que el tri¨¢ngulo egipcio o tri¨¢ngulo sagrado es el tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5, y que se denomina as¨ª porque los antiguos egipcios, aunque no es seguro que conocieran el teorema de Pit¨¢goras, s¨ª sab¨ªan que en un tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5 el ¨¢ngulo opuesto al lado mayor es recto, propiedad que utilizaban habitualmente al planificar sus construcciones monumentales y arquitect¨®nicas. Pues bien, ?puedes construir un ¡°tetraedro egipcio¡±, cuyas cuatro caras sean tri¨¢ngulos egipcios iguales? ?Cu¨¢les son sus caracter¨ªsticas?

Adem¨¢s del tetraedro equi¨¦drico (con su hipot¨¦tico tetraedro de Napole¨®n asociado) y del caso particular del tetraedro egipcio, ?se te ocurren otros tetraedros singulares?

Otros ¡°equiedros¡±

Como es bien sabido, los cinco s¨®lidos plat¨®nicos (tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) son los ¨²nicos poliedros regulares convexos (?c¨®mo le demostrar¨ªas a un esc¨¦ptico con escasos conocimientos matem¨¢ticos que no puede haber ninguno m¨¢s?). Adem¨¢s, hay cuatro poliedros regulares no convexos, conocidos como s¨®lidos de Kepler (o de Kepler-Poinsot): el peque?o dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro. En la figura adjunta, el primero y m¨¢s conocido de ellos, el peque?o dodecaedro estrellado.

Pero si la ¨²nica condici¨®n es que todas las caras sean iguales, pero no necesariamente regulares, y tampoco se pide que sean iguales sus diedros y ¨¢ngulos poli¨¦dricos, el n¨²mero de ¡°equiedros¡± aumenta considerablemente (?infinitamente, tal vez?).

Aprovechando la similitud de poliedros de distintos tipos con algunos adornos navide?os, invito a mis sagaces lectoras y lectores a explorar el fascinante mundo de los equiedros y a compartir sus hallazgos.

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