El forjador de rayos

El ¡°mono oral¡± de la semana pasada suscit¨® una amplia e interesante discusi¨®n (ver comentarios de El sistema di¨¦drico). Se trata de la representaci¨®n proyectiva de un s¨®lido de Steinmetz bicil¨ªndrico: la intersecci¨®n de dos cilindros del mismo radio cuyos ejes son perpendiculares entre s¨ª (tambi¨¦n hay un s¨®lido de Steinmetz tricil¨ªndrico, que es la intersecci¨®n de tres cilindros de igual radio cuyos ejes son perpendiculares entre s¨ª y se cortan en un mismo punto). Se trata de una forma bien conocida por los arquitectos, pues cuando dos corredores de medio ca?¨®n se cruzan perpendicularmente dan lugar a una b¨®veda, muy habitual en las iglesias rom¨¢nicas, denominada b¨®veda de claustro, que es un bicilindro de Steinmetz disecado.

Estos s¨®lidos se denominan as¨ª en honor del prol¨ªfico matem¨¢tico e ingeniero alem¨¢n Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), que determin¨® su volumen. Aunque no fue el primero: el genial Arqu¨ªmedes, que se anticip¨® en dos mil a?os al c¨¢lculo integral, ya lo hab¨ªa determinado. ?Puedes emular a Arqu¨ªmedes y calcular el volumen de la intersecci¨®n de dos cilindros de radio unidad sin recurrir a las integrales? ?Y el ¨¢rea de su superficie? ?Ves alguna relaci¨®n con el volumen y el ¨¢rea de la esfera?

Habl¨¢bamos hace poco de las aplicaciones de los n¨²meros complejos (por ejemplo, para descubrir tesoros enterrados o demostrar el teorema de Napole¨®n), y hay que se?alar que Steinmetz los aplic¨® eficazmente al estudio de los circuitos de corriente alterna, y sus trabajos, tanto te¨®ricos como experimentales, jugaron un papel fundamental en la sustituci¨®n de la corriente continua por la alterna y, por ende, en el desarrollo industrial de Estados Unidos a finales del siglo XIX y comienzos del XX. Adem¨¢s, ide¨® un nuevo y muy seguro tipo de pararrayos que le vali¨® el sobrenombre de Forjador de Rayos.

En cuanto a las tres proyecciones orto¨¦dricas mostradas la semana pasada, hay un error en una de ellas (?puedes decir en cu¨¢l?). Y este es, en perspectiva, el s¨®lido que da lugar a otra de las proyecciones:

El teorema de Napole¨®n III

Y volviendo al teorema de Napole¨®n, nos pregunt¨¢bamos en su d¨ªa si ser¨ªa extrapolable al espacio tridimensional (de ah¨ª lo de Napole¨®n III: en este caso III significa 3D). Es decir:

Si, dado un tetraedro cualquiera, construimos sobre cada una de sus caras sendos tetraedros equi¨¦dricos (con las cuatro caras iguales), sus respectivos baricentros (y tambi¨¦n los incentros y los circuncentros) ser¨¢n los v¨¦rtices de un nuevo tetraedro que, por analog¨ªa con el tri¨¢ngulo de Napole¨®n, denominaremos ¡°tetraedro napole¨®nico¡±. ?C¨®mo ser¨¢: regular, semejante al tetraedro inicial¡­? ?Y qu¨¦ pasa con los v¨¦rtices singulares de los cuatro tetraedros, es decir, los opuestos a las caras del tetraedro inicial? Pero antes de abordar el complejo y poli¨¦drico (nunca mejor dicho) teorema de Napole¨®n III, una tarea m¨¢s sencilla:

Obviamente, si partimos de un tetraedro regular, los centros de los cuatro tetraedros construidos sobre sus caras ser¨¢n los v¨¦rtices de un tetraedro napole¨®nico tambi¨¦n regular. ?Puedes calcular su volumen? Al igual que Caperucita a la casa de su abuela, puedes llegar a la soluci¨®n por el camino m¨¢s largo o por el m¨¢s corto.

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