Pol¨ªgonos sagrados y estrellas malditas

Como vimos la semana pasada, los centros de los c¨ªrculos de radios 1, 2 y 3 tangentes entre s¨ª son los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo. Y no de uno cualquiera, sino del de lados 3, 4 y 5, nada menos que el tri¨¢ngulo sagrado de los egipcios, que sab¨ªan que el ¨¢ngulo opuesto al lado mayor de este tri¨¢ngulo era recto, aunque no es seguro que generalizaran este resultado a todos los tri¨¢ngulos cuyos lados cumplen la relaci¨®n a? = b? + c? (es decir, que c...

Como vimos la semana pasada, los centros de los c¨ªrculos de radios 1, 2 y 3 tangentes entre s¨ª son los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo. Y no de uno cualquiera, sino del de lados 3, 4 y 5, nada menos que el tri¨¢ngulo sagrado de los egipcios, que sab¨ªan que el ¨¢ngulo opuesto al lado mayor de este tri¨¢ngulo era recto, aunque no es seguro que generalizaran este resultado a todos los tri¨¢ngulos cuyos lados cumplen la relaci¨®n a? = b? + c? (es decir, que conocieran el teorema de Pit¨¢goras).

Como se?ala Salva Fuster: ¡°Para los c¨ªrculos tangentes entre s¨ª de radios 1, 2 y 3, una vez dibujados sus centros formando un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5, resulta sencillo ver que el radio del c¨ªrculo tangente exterior a esos tres ser¨¢ 6, y que su centro se encontrar¨¢ justamente en el punto que formar¨ªa un rect¨¢ngulo con los otros tres centros¡±. (?Por qu¨¦?).

Hallar el radio del c¨ªrculo tangente interior por m¨¦todos geom¨¦tricos no es tan sencillo. Podemos recurrir a la f¨®rmula:

Q? + R? + S? + T? = 1/2 (Q + R+ S + T)?

Pero, como vimos, los c¨¢lculos son largos y engorrosos, por lo que conviene echar mano de otra f¨®rmula que nos da T directamente:

T = Q + R + S + 2¡Ì(QR + QS + RS)

T = 1 + 1/2 + 1/3 + 2¡Ì(1/2 + 1/3 + 1/6) = 11/6 + 2 = 23/6

Por lo tanto, el radio del c¨ªrculo tangente interior ser¨¢ 1/T = 6/23

Si aplicamos el valor negativo de la ra¨ªz:

T = 11/6 ¨C 2 = ¨C1/6

Que corresponde al radio del c¨ªrculo tangente exterior, que como hemos visto mide 6 unidades, considerando negativa su curvatura (en el caso del c¨ªrculo tangente interior los cuatro c¨ªrculos se ¡°besan¡± con sus partes convexas, mientras que el c¨ªrculo tangente exterior besa a los otros tres con su parte c¨®ncava).

Del tri¨¢ngulo sagrado al pent¨¢culo diab¨®lico

El tri¨¢ngulo de oro de los egipcios no es el ¨²nico pol¨ªgono sagrado, dorado, m¨ªstico¡­ o maldito. Sin salir del ¨¢mbito de los tri¨¢ngulos, el equil¨¢tero ser¨ªa el tri¨¢ngulo sagrado por excelencia, ya que representa al mism¨ªsimo Dios (la Sant¨ªsima Trinidad), y no solo para el cristianismo: para el hinduismo tambi¨¦n es el emblema de la tr¨ªada divina: Brahma, Visn¨² y Shiva.

Entre los cuadril¨¢teros, destaca el rect¨¢ngulo dorado, cuyos lados est¨¢n en la -divina- proporci¨®n 1:1,618 (?recuerdas por qu¨¦ o puedes deducirlo?). El familiar folio DIN A4, de 210 x 297 mm, no llega a dorado, pero tiene una interesante propiedad geom¨¦trica que lo hace muy especial (?cu¨¢l es?). Otro rect¨¢ngulo omnipresente es el domin¨® o tatami, de lados en la proporci¨®n 1:2, que encontramos recurrentemente en ladrillos y baldosas, por la ventaja que supone poder acoplar dos lados menores con uno mayor para levantar paredes o teselar suelos.

En el caso del pent¨¢gono regular, son sus diagonales las que determinan la figura sagrada: el pent¨¢culo, pentagrama o pentalfa, la estrella de cinco puntas venerada por los pitag¨®ricos. Entre otras sutilezas geom¨¦tricas, en la estrella pentagonal anida la antes aludida divina proporci¨®n. (?Puedes encontrarla?).

Si trazamos las diagonales del pent¨¢gono interior del pent¨¢culo, obtenemos otro, pero invertido, una inversi¨®n que no solo es espacial, pues el pent¨¢culo boca abajo es un s¨ªmbolo diab¨®lico, cuya maldici¨®n te alcanzar¨¢ si no determinas la proporci¨®n entre el ¨¢rea del pent¨¢culo y la de su antipent¨¢culo interno. O si no los dibujas adecuadamente, para lo cual hay que empezar dibujando un pent¨¢gono regular con regla (no graduada) y comp¨¢s.

En el caso del hex¨¢gono regular, la construcci¨®n es muy sencilla, puesto que el lado del hex¨¢gono es igual al radio del c¨ªrculo circunscrito, e igual de f¨¢cil es construir un tri¨¢ngulo equil¨¢tero o un cuadrado; pero en el caso del pent¨¢gono te costar¨¢ un poco m¨¢s. Si lo consigues, int¨¦ntalo con otros pol¨ªgonos regulares: oct¨®gono, ene¨¢gono, dec¨¢gono¡­ hasta llegar al elusivo heptadec¨¢gono (pol¨ªgono de 17 lados). ?nimo, Gauss lo consigui¨® cuando solo ten¨ªa 19 a?os.

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