La torre y el tri¨¢ngulo

En semanas anteriores hemos visto la sorprendente relaci¨®n de la torre de Han¨®i con los recorridos hamiltonianos, as¨ª como con la leyenda del inventor del ajedrez, y la vers¨¢til torre a¨²n reserva algunas sorpresas. Por ejemplo, su relaci¨®n con el tri¨¢ngulo de Sierpinski, se?alada por nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli.

Aunque el matem¨¢tico polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) es m¨¢s conocido por su famosa ¡°alfombra¡±, tambi¨¦n ide¨® otros objetos fractales, como el tri¨¢ngulo que lleva su nombre, que se obtiene de la siguiente manera:

En un tri¨¢ngulo equil¨¢tero (aunque sirve un tri¨¢ngulo cualquiera), unimos los puntos medios de los lados y eliminamos el tri¨¢ngulo central as¨ª obtenido (en blanco en la figura), con lo que quedan 3 tri¨¢ngulos cuya ¨¢rea conjunta es 3/4 de la del tri¨¢ngulo inicial. Hacemos lo mismo con los tres tri¨¢ngulos restantes, con lo que quedan 9 tri¨¢ngulos cuya ¨¢rea conjunta es 9/16 de la del tri¨¢ngulo inicial¡­ y as¨ª sucesiva e indefinidamente.

Pues bien, como se?ala Tanganelli: ¡°El grafo de los movimientos de la torre de Han¨®i es como un tri¨¢ngulo de Sierpinski, y el camino m¨¢s corto entre dos posiciones extremas (donde los discos se hallan todos en un eje) se visualiza como un lado de dicho tri¨¢ngulo. Yo me pregunt¨¦ si exist¨ªa un camino m¨¢s largo entre dos posiciones extremas, y resulta que s¨ª. Este camino resulta ser un camino hamiltoniano¡±.

(Aclaro que el grafo de la torre trivial de un solo disco es el tri¨¢ngulo inicial, el de la torre de dos discos es el primer paso del proceso de Sierpinski, o sea, el tri¨¢ngulo dividido en cuatro partes, y as¨ª sucesivamente).

Como vimos, el camino m¨¢s corto, para una torre de n discos, requiere 2? ¨C 1 movimientos. ?Cu¨¢ntos movimientos requiere el camino hamiltoniano? ?Son ¨²nicos ambos caminos?

El verdadero nombre de Dios

Y hablando de curiosos paralelismos, la leyenda (ap¨®crifa) de los monjes de Benar¨¦s que trasladan sin cesar los 64 discos de oro de una torre de Han¨®i, cuya ingente tarea, al finalizar, supondr¨¢ el fin del mundo, tiene su hom¨®logo en un famoso relato de Arthur Clarke titulado Los nueve mil millones de nombres de Dios, en el que se cuenta la historia de unos monjes tibetanos que combinan sin cesar las letras de su alfabeto para intentar formar el verdadero nombre de Dios; cuando lo encuentren, nada quedar¨¢ por hacer y se apagar¨¢n las estrellas. Teniendo en cuenta que el alfabeto tibetano consta de treinta letras, que el nombre de Dios no puede tener m¨¢s de nueve letras y que una misma letra no puede aparecer m¨¢s de tres veces seguidas (pues ello dar¨ªa lugar a un nombre impronunciable incluso para un monje tibetano), ?es realmente del orden de los miles de millones el n¨²mero de posibles nombres divinos? ?O quienes err¨®neamente traducen billions como billones est¨¢n en este caso m¨¢s cerca de la verdad?

Plante¨¦monos una tarea algo m¨¢s sencilla que la de los monjes tibetanos: supongamos que quien denomin¨® ¡°Dios¡± al ser supremo acert¨® con el n¨²mero de letras y la proporci¨®n de vocales y consonantes, pero no dio con el nombre verdadero. ?Cu¨¢ntos son los posibles nombres de cuatro letras, dos vocales y dos consonantes, compatibles con la morfolog¨ªa del castellano? Pero no los recites en voz alta, por si acaso¡­

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