Descartes vs Fermat: el combate del siglo XVII

Los tres c¨ªrculos de radios 1, 2 y 3 tangentes entre s¨ª contemplados la semana pasada tendr¨¢n sus centros en los v¨¦rtices de un tri¨¢ngulo de lados 3, 4 y 5 (1+2, 1+3 y 2+3), es decir, de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo, por lo que no es dif¨ªcil dibujarlos sin m¨¢s ayuda que la de un comp¨¢s (y una regla no graduada para trazar las l¨ªneas rectas, aunque si tienes buen pulso no es imprescindible). Trazamos dos rectas perpendiculares y, a partir de su punto de intersecci¨®n, marcamos con el comp¨¢s en una de ellas un punto situado a tres unidades arbitrarias del mismo y, en la otra, un punto situado a cuatro unidades, y ya tenemos los centros de las tres circunferencias tangentes: el punto de intersecci¨®n es el centro de la de radio 1 y los otros dos son los centros, respectivamente, del c¨ªrculo de radio 2 y del de radio 3. Ahora ya es m¨¢s f¨¢cil (?o no?) hallar el radio de los dos c¨ªrculos tangentes a los otros tres, uno exterior y otro interior.

Los versos clave del poema de Soddy, por lo que se refiere al enunciado del teorema de Descartes, son los que dicen ¡°es la adici¨®n de sus cuadrados/medio cuadrado de la suma¡±. Es decir, la suma de los cuadrados de las curvaturas es igual a la mitad del cuadrado de la suma de dichas curvaturas (recordemos que la curvatura de una circunferencia es el inverso de su radio). Si llamamos Q, R, S y T a las respectivas curvaturas de los cuatro c¨ªrculos tangentes entre s¨ª:

Q? + R? + S? + T? = 1/2 (Q + R+ S + T)?

En el caso de los c¨ªrculos de radio 1, 2 y 3, si llamamos r al radio del cuarto c¨ªrculo tangente a esos tres, tendremos:

Q = 1

R = 1/2

S = 1/3

T = 1/r

Por lo tanto:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/r? = 1/2 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/r)?

De donde es f¨¢cil deducir el valor de r (al ser una ecuaci¨®n de segundo grado, obtendremos dos valores, uno para el c¨ªrculo interior y otro para el exterior). F¨¢cil, pero engorroso, por lo que conviene recurrir a una sencilla f¨®rmula que permite calcular el valor del cuarto radio en funci¨®n de los otros tres (?puedes hallarla?).

En la segunda parte del poema er¨®tico-matem¨¢tico de Soddy, que ampl¨ªa el teorema al caso tridimensional de cinco esferas tangentes entre s¨ª, los versos clave son ¡°es el cuadrado de la suma / tres por la suma de cuadrados¡±, lo que significa (pasando el factor 3 como divisor al otro lado de la ecuaci¨®n para homologarla a la anterior):

Q? + R? + S? + T? + V? = 1/3(Q + R+ S + T + V)?

Fil¨®sofo contra abogado

No podemos despedirnos de Descartes, y menos tras hablar de geometr¨ªa anal¨ªtica, sin mencionar a Pierre de Fermat, el otro gran matem¨¢tico franc¨¦s de la ¨¦poca (que, por cierto, en realidad era un abogado que en sus ratos libres se distra¨ªa haciendo mates, por lo que fue llamado ¡°pr¨ªncipe de los aficionados¡±), pues descubri¨® la geometr¨ªa anal¨ªtica antes que Descartes, y si hoy hablamos de coordenadas cartesianas en lugar de fermatianas, es solo por el mayor prestigio de Descartes y porque present¨® sus trabajos de una forma m¨¢s clara y sistem¨¢tica.

Molesto por el hecho de que Fermat se le hubiera adelantado, Descartes intent¨® desprestigiar al ¡°incompetente abogado¡± tachando sus m¨¦todos de poco rigurosos. Pero ante los buenos resultados obtenidos por su rival, en un momento dado le escribi¨®: ¡°A la vista del ¨²ltimo m¨¦todo que usted utiliza para hallar tangentes de l¨ªneas curvas, solo puedo decir que es muy bueno y que si lo hubiera usted explicado de esta forma desde el principio, yo no lo habr¨ªa cuestionado en absoluto¡±.

Un detalle de fair play un tanto enga?oso, pues, bajo cuerda, ambos pesos pesados de las matem¨¢ticas se pon¨ªan verdes el uno al otro a la menor ocasi¨®n (como bien sab¨ªa Mersenne, el tercer gran matem¨¢tico de la ¨¦poca, que, como involuntario ¨¢rbitro de la contienda, ten¨ªa que escuchar las quejas de ambos). Fue un combate a varios asaltos que, por m¨¢s que Descartes acabara dando su nombre a las coordenadas, en realidad ninguno de los dos gan¨®. Entre otras cosas porque, como vimos, el trofeo de la geometr¨ªa anal¨ªtica ya se lo hab¨ªan adjudicado mucho antes Apolonio de Perga y Omar Jayam.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, X e Instagram, o apuntarte aqu¨ª para recibir nuestra newsletter semanal.