El beso preciso

Las coordenadas de cualquier punto (P) de una circunferencia cuyo centro coincide con el punto de intersecci¨®n de los ejes (O) forman, junto con su radio correspondiente, un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo, en el que la hipotenusa es el radio (R) y los catetos son las coordenadas (x, y), por lo que, por el teorema de Pit¨¢goras, siempre se cumplir¨¢ la relaci¨®n x? + y? = R2. Si el radio mide 5 unidades, como en el caso planteado la semana pasada, la ecuaci¨®n pedida ser¨¢ x? + y? = 25.

La geometr¨ªa anal¨ªtica y sus coordenadas cartesianas fueron sin duda la m¨¢s importante aportaci¨®n de Descartes a las matem¨¢ticas, pero no la ¨²nica. A menudo retom¨® y dio nuevo impulso a cuestiones tratadas desde antiguo, y en este sentido cabe destacar el teorema de los defectos angulares (del que nos ocuparemos en otra ocasi¨®n) y el de los c¨ªrculos tangentes.

El teorema de los cuatro c¨ªrculos tangentes

Dados tres c¨ªrculos tangentes entre s¨ª dos a dos, siempre podemos trazar un cuarto c¨ªrculo tangente a los tres, que puede estar inscrito o circunscrito a ellos.

La cuesti¨®n fue abordada -hay que citar una vez m¨¢s al Gran Ge¨®metra- por Apolonio de Perga, y Descartes la retom¨® a mediados del siglo XVII, estableciendo una relaci¨®n entre las respectivas curvaturas de los cuatro c¨ªrculos (recordemos que la curvatura de un c¨ªrculo es el inverso de su radio, con signo positivo o negativo seg¨²n que consideremos su parte convexa o c¨®ncava).

En 1936, el qu¨ªmico ingl¨¦s Frederick Soddy (premio Nobel de qu¨ªmica en 1921) redescubri¨® el teorema, y public¨® su versi¨®n en la revista Nature en forma de un poema humor¨ªstico titulado The Kiss Precise, en el que, adem¨¢s, lo ampl¨ªa al caso de cinco esferas tangentes entre s¨ª (si sabes ingl¨¦s te recomiendo que busques el original, f¨¢cil de encontrar en la red; de lo contrario, tendr¨¢s que conformarte con mi apresurada versi¨®n en eneas¨ªbos):

El beso preciso

Tal vez besarse por parejas

no implique trigonometr¨ªa.

No es as¨ª si cuatro se besan

cada uno a los otros tres,

pues para ello habr¨¢n de estar

o tres en uno o uno en tres.

Si uno est¨¢ en tres, recibir¨¢n

todos tres besos desde fuera.

Si tres en uno, este ser¨¢

por tres besado internamente.

Logran besarse cuatro c¨ªrculos.

Cuanto menores m¨¢s curvados.

La curvatura es el inverso

del radio, la distancia al centro.

Y aunque esto a Euclides asombrara,

ning¨²n axioma es necesario.

Rectas con cero curvatura,

con signo menos l¨ªneas c¨®ncavas,

es la adici¨®n de sus cuadrados

medio cuadrado de la suma.

Al espiar l¨ªos esf¨¦ricos,

del vigilante osculatorio

es la tarea laboriosa,

pues es la esfera m¨¢s promiscua,

y ahora son m¨¢s de un par de pares,

son cinco esferas besuconas.

Pero los signos son como antes,

y al oscular cada una a cuatro,

es el cuadrado de la suma

tres por la suma de cuadrados.

Tras una atenta lectura del poema, ?eres capaz de traducirlo al lenguaje matem¨¢tico -es decir, de formular el teorema de Descartes- tal como tuvieron que hacer en su d¨ªa los lectores de Nature?

Previo a ello, puedes intentar dibujar, con solo ayuda de un comp¨¢s (f¨ªsico o mental) tres c¨ªrculos de radios 1, 2 y 3 tangentes dos a dos. ?Cu¨¢nto mide el radio del c¨ªrculo exterior tangente a estos tres? ?Y el del c¨ªrculo tangente interior?

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