Sobres, puentes, p¨¢jaros y peces

Nuestro malabarista de la semana pasada no tom¨® la mejor decisi¨®n al pasar por un puente tan precario lanzando al aire sus bolos, pues su reacci¨®n al lanzarlos verticalmente hacia arriba ¡ªas¨ª como su impacto al volver a las manos del artista circense¡ª ejerce sobre el puente una fuerza mayor que su peso en reposo. Ni siquiera un malabarista puede saltarse ...

Nuestro malabarista de la semana pasada no tom¨® la mejor decisi¨®n al pasar por un puente tan precario lanzando al aire sus bolos, pues su reacci¨®n al lanzarlos verticalmente hacia arriba ¡ªas¨ª como su impacto al volver a las manos del artista circense¡ª ejerce sobre el puente una fuerza mayor que su peso en reposo. Ni siquiera un malabarista puede saltarse la tercera ley de Newton.

Algunos lectores han sugerido usar una b¨¢scula para comprobar lo anterior y para cuantificar el efecto. Si tienes en casa el t¨ªpico ¡°pesapersonas¡± para controlar los efectos de la dieta (y un techo lo suficientemente alto), puedes intentar ¡ªbajo tu responsabilidad¡ª el siguiente experimento: coge un objeto de un kilo o m¨¢s (un brik de cualquier l¨ªquido, por ejemplo), s¨²bete a la b¨¢scula con ¨¦l en las manos y l¨¢nzalo ligeramente hacia arriba sin perder de vista el marcador de la b¨¢scula; comprobar¨¢s que en el momento del lanzamiento y en el de la recuperaci¨®n del objeto (si logras recuperarlo al vuelo) la aguja se desplaza ligeramente hacia la derecha.

El problema del malabarista recuerda uno que se plante¨®, hace muchos a?os, en un examen de f¨ªsica de una escuela de ingenier¨ªa y que, en su momento, se hizo famoso:

Sobre una b¨¢scula hay una jaula que, estando vac¨ªa, pesa un kilo con un pajarito que pesa 30 gramos posado en su balanc¨ªn. De pronto el p¨¢jaro empieza a revolotear por el interior de la jaula, ?cu¨¢nto marca la aguja de la b¨¢scula?

Una variaci¨®n sobre el mismo tema:

Ahora es una peque?a pecera con un pez la que est¨¢ sobre la b¨¢scula. La pecera y el agua pesan un kilo y el pez 30 gramos. De pronto el pez salta fuera del agua y vuelve a caer en la pecera, ?c¨®mo repercute este salto en la aguja de la b¨¢scula?

Y una variaci¨®n sobre la variaci¨®n:

En la pecera de antes, con la misma cantidad de agua, no hay un pez sino una bola de hierro que pesa un kilo descansando en el fondo. Si metes la mano en la pecera y sacas la bola de hierro, ?qu¨¦ marca la aguja de la b¨¢scula en los distintos momentos de esta acci¨®n?

La equivalencia del sobre y los puentes

Y de un problema sobre un puente (en ambos sentidos de la preposici¨®n) a otro de sobres y puentes paralelos:

El famoso recorrido por los 7 puentes de K?nigsberg no era posible porque a las cuatro partes de la ciudad le correspond¨ªan un n¨²mero impar de puentes: 5 a una de las islas, 3 a la otra, 3 a la margen derecha del r¨ªo y 3 a la izquierda (suman 14, s¨ª, pero es que cada puente lo hemos contado dos veces). Por lo tanto, partieras de donde partieras, si recorr¨ªas todos los puentes sin volver a pasar por ninguno, ten¨ªas que hacer algo imposible para cumplir la tarea: acabar el recorrido en las otras tres partes a la vez (puesto que todas ellas las visitas seg¨²n la secuencia entrar-salir-entrar, o entrar-salir-entrar-salir-entrar en el caso de la isla con 5 puentes). Para que el recorrido euleriano fuera posible empezando en una zona y terminando en otra (como ocurre en la actual Kaliningrado), tendr¨ªa que haber dos zonas con un n¨²mero par de puentes y dos con un n¨²mero impar.

Al pasar de K?nigsberg a Kaliningrado y de 7 puentes a 5, hay 21 parejas de puentes distintas que podr¨ªan haber desaparecido (7x6/2). Y 15 de estas parejas, al desaparecer, dejan dos zonas con un n¨²mero par de puentes y las otras dos con un n¨²mero impar. Por ejemplo, si eliminamos los puentes marcados en la figura (que a primera vista parecen los m¨¢s prescindibles), ambas islas quedan con 3 puentes y ambas orillas con 2. Por lo tanto, necesitamos alg¨²n dato adicional para saber cu¨¢l de las 15 parejas de puentes posibles ha sido eliminada. Lo que podemos afirmar es que, sean cuales fueren los puentes desaparecidos, ahora el problema -resoluble- de los puentes de Kaliningrado es equivalente al archiconocido de dibujar un sobre abierto sin levantar el l¨¢piz del papel ni pasar dos veces por el mismo trazo. ?Ves la equivalencia? Y no digas que las zonas de Kaliningrado son 4 mientras que el sobre tiene 5 v¨¦rtices (?por qu¨¦ no has de decirlo?).

Y puesto que llevamos un par de semanas hablando de grafos, aunque sin apenas nombrarlos, aprovecho para recomendar una vez m¨¢s el estupendo y divertido libro de Clara Grima En busca del grafo perdido. Como dije en su d¨ªa, al empezar a leerlo pens¨¦: ¡°?Por qu¨¦ no lo habr¨¦ escrito yo?¡±, pero al acabarlo me dije: ¡°Es mejor que lo haya escrito ella¡±.

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