Puentes problem¨¢ticos

El problema de la escalera desvencijada propuesto la semana pasada es una variante de los cl¨¢sicos acertijos en los que hay que cruzar un r¨ªo con una barca cumpliendo ciertos requisitos (como el famoso del pastor con un lobo, una oveja y una col), solo que el r¨ªo ha sido sustituido por una escalera y la barca por una linterna, y con el a?adido del factor velocidad. Lo cual invita a plantear el siguiente metaproblema: ?c¨®mo ser¨ªa el problema de la escalera en t¨¦rminos fluviales? Dicho de otra manera: ?se te ocurre un planteamiento equivalente con un r¨ªo y una barca en lugar de una escalera y una linterna? No se trata de plantear un problema similar, sino rigurosamente equivalente. La soluci¨®n dada por David Fern¨¢ndez al problema de la escalera puede facilitar el ¡°cambio de variables¡±:

¡°Lo ideal en el problema de la linterna es que las dos personas m¨¢s lentas bajen juntas, ahorr¨¢ndose 4 minutos, y que ninguna de las dos tenga que subir a entregar la linterna (en caso contrario, no ahorrar¨ªamos nada). Para ello las dos personas m¨¢s r¨¢pidas han de bajar primero. La secuencia ser¨ªa: bajan las dos m¨¢s r¨¢pidas, 2 min, sube una de las dos y entrega la linterna a las dos m¨¢s lentas, 8 min, sube la otra persona m¨¢s r¨¢pida y vuelven a bajar las dos m¨¢s r¨¢pidas, 2 min: 12 min de bajada m¨¢s 3 de subida son 15 min¡±.

La adaptaci¨®n del tap¨®n de corcho tambi¨¦n ha suscitado numerosos e interesantes comentarios. La soluci¨®n m¨¢s pr¨¢ctica es la que apareci¨® en su d¨ªa en la revista Mec¨¢nica Popular, que consiste en quitarle al tap¨®n un sector cil¨ªndrico (o troncoc¨®nico) mediante un par de cortes verticales (con un cuchillo bien afilado para que el corcho no se desmenuce) como los que se indican en la figura. Al extraer la cu?a y apretar el cocho entre los dedos para unir las caras internas del corte, el di¨¢metro del tap¨®n disminuye ligeramente.

Otra soluci¨®n menos pr¨¢ctica, pero interesante desde el punto de vista te¨®rico, consiste en comprimir el corcho sumergi¨¦ndolo a varios metros bajo el agua (a solo10 m de profundidad la presi¨®n ya es de 2 atm¨®sferas). Como dato curioso, el corcho es tan comprimible que si se sumerge a gran profundidad ya no vuelve a la superficie, pues su densidad se iguala a la del agua circundante y deja de flotar.

Geometr¨ªa ¡ªy f¨ªsica¡ª de la posici¨®n

El problema de la escalera y la linterna es una adaptaci¨®n edilicia (valga el argentinismo) del conocido como ¡°acertijo del puente y la antorcha¡± (que peri¨®dicamente se hace viral y tiene su propia entrada en Wikipedia), lo cual es un buen pretexto para abordar otros problemas de puentes.

El m¨¢s conocido, huelga se?alarlo, es el de los siete puentes de K?nigsberg, cuya ingeniosa resoluci¨®n por parte de Euler se podr¨ªa decir que inaugur¨® la teor¨ªa de grafos. Y, de paso, tambi¨¦n dio un notable impulso a lo que acabar¨ªa llam¨¢ndose topolog¨ªa, es decir, al estudio de aquellas propiedades estructurales de los objetos geom¨¦tricos que son independientes de sus medidas y formas concretas (que el propio Euler denomin¨® geometria situs, geometr¨ªa de la posici¨®n). Por cierto, en la actualidad solo hay cinco puentes en Kaliningrado (que es el nuevo nombre de la antigua K?nigsberg), y ahora s¨ª que es posible empezar el recorrido en una isla y acabarlo en otra, aunque no se puede completar un ciclo euleriano, es decir, empezar y terminar el recorrido en un mismo punto. Con estos datos, ?podr¨ªas situar en un croquis de Kaliningrado sus cinco puentes actuales?

Y de la geometr¨ªa a la f¨ªsica de la posici¨®n, concretamente de la problem¨¢tica posici¨®n de un malabarista sobre un puente poco seguro:

Un malabarista se dispone a cruzar un puente muy fr¨¢gil, que solo soporta un m¨¢ximo de 50 kilos. El malabarista es muy menudo, solo pesa 48 kilos, pro sus tres bolos de malabares pesan un kilo cada uno. ¡°No hay problema -piensa el malabarista-, cruzar¨¦ lanzando al aire los bolos, de modo que siempre habr¨¢ al menos uno en el aire y en ning¨²n momento el puente soportar¨¢ m¨¢s de 50 kilos¡±. ?Te parece una buena idea? ?Se te ocurre una soluci¨®n alternativa?

Invito a mis sagaces lectoras y lectores (a no ser que padezcan gefirofobia) a buscar y proponer otros problemas de puentes, un tema, por lo que s¨¦, poco explotado a pesar de que, en principio, podr¨ªa dar mucho juego, tanto a nivel l¨®gico-matem¨¢tico como f¨ªsico.

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