N¨²meros, atomos y estrellas

?Qu¨¦ es un ¨¢tomo? Dependiendo de qui¨¦n se formule la pregunta, la respuesta puede variar ostensiblemente su grado de dificultad. Para Dem¨®crito parec¨ªa bastante claro: la materia estaba compuesta por part¨ªculas indivisibles que denomin¨® ¨¢tomos. Esta idea fue objeto de reflexi¨®n y revisi¨®n a lo largo de los siglos, durante los cuales la ciencia experimental, que apenas exist¨ªa, se mantuvo ausente.La situaci¨®n cambi¨® dr¨¢sticamente a finales del siglo XIX, cuando los experimentos empezaron a crear una plataforma desde la que se pudo establecer cient¨ªficamente la naturaleza de los ¨¢tomos, sobre todo a partir de la irrupci¨®n de las ideas cu¨¢nticas de principios del siglo XX.

Se puede decir que, si bien los ¨¢tomos nacieron para la filosof¨ªa hace m¨¢s de 20 siglos, para la ciencia, y muy especialmente para la f¨ªsica, apenas cuentan con 100 a?os de. vida. El progreso originado a ra¨ªz de las preguntas, primero, y de las respuestas, m¨¢s tarde, de que es responsable la teor¨ªa cu¨¢ntica ha sido impresionante, hasta el punto que. la f¨ªsica y qu¨ªmica cu¨¢nticas se han convertido en uno de los pilares sobre los que se fundamenta la vida contempor¨¢nea.

El estudio de los ¨¢tomos, sin embargo, no acab¨® aqu¨ª. En las primeras d¨¦cadas del siglo XX, los descubrimientos de Plank, Fermi, Heisenberg, Schr?dinger, Dirac y muchos otros gene raron un esfuerzo concertado para establecer, de acuerdo con el rigor matem¨¢tico m¨¢s estricto, su naturaleza y propiedades. La situaci¨®n fue especialmente favorable: despu¨¦s de varios in tentos, la formulaci¨®n cu¨¢ntica de Heisenberg y Schr?dinger utiliz¨® de manera fundamental el arsenal matem¨¢tico introducido tan solo unos a?os antes para dar explicaciones estricta mente matem¨¢ticas a cuestiones cl¨¢sicas, como la ¨®ptica y el electromagnetismo.

Enfoque global

Esta actividad constituy¨® el embri¨®n que se convertir¨ªa a?os m¨¢s tarde en una nueva disciplina, la f¨ªsica matem¨¢tica. Lejos de ser otro eslab¨®n en la tendencia, iniciada en el siglo XVIII, de subdividir la ciencia en especialidades cada vez m¨¢s independientes y perfectamente delimitadas (biolog¨ªa, f¨ªsica, geolog¨ªa, matem¨¢ticas, qu¨ªmica, etc¨¦tera), la fisica matem¨¢tica supuso quiz¨¢ un primer paso hacia el proceso de reestructuraci¨®n de la ciencia moderna, en el que predomina un enfoque m¨¢s global e interdisciplinario de los problemas.

La teor¨ªa cu¨¢ntica, la mec¨¢nica estad¨ªstica, la ingenier¨ªa de pol¨ªmeros, la matem¨¢tica financiera, la biolog¨ªa computacional y los algoritmos gen¨¦ticos son ejemplos de ramas de la ciencia que no son f¨¢cilmente clasificables de acuerdo con la distinci¨®n a la que estamos acostumbrados en los departamentos universitarios. La lista aqu¨ª mencionada es, por supuesto, incompleta; m¨¢s a¨²n, est¨¢ limitada a aquellos temas en los que las matem¨¢ticas, junto, posiblemente, a otras ciencias, desempe?an un papel fundamental.

La principal diferencia entre las matem¨¢ticas y el resto de las ciencias estriba en que el criterio de certeza viene dictado ¨²nicamente por la l¨®gica, por la deducci¨®n riguosa. Cuando un cient¨ªfico analiza sus experimentos, hace c¨¢lculos, interpretaciones fenomenol¨®gicas y predicciones es frecuente que utilice las matem¨¢ticas de manera fundamental, incluso bastante sofisticada. Nadie discute este precioso papel de las matem¨¢ticas en la ingenier¨ªa, la f¨ªsica o la qu¨ªmica. Pero no es ¨¦sta la tarea que nos interesa resaltar ahora, sino el saber si podemos entender y describir en t¨¦rminos matem¨¢ticos las distintas teor¨ªas cient¨ªficas y cu¨¢les son las ventajas que lograr¨ªamos en ese empe?o.

Cuando la f¨ªsica y la qu¨ªmica ya tienen una teor¨ªa cu¨¢ntica establecida, que permite hacer predicciones con aproximaciones sorprendentemente buenas, la insistencia de los matem¨¢ticos de continuar persiguiendo las bases sobre las que fundamentar y derivar de manera rigurosa los fen¨®menos cu¨¢nticos puede parecer redundante. Pero no lo es, y por diversos motivos. Uno de los papeles de las matem¨¢ticas en la din¨¢mica cient¨ªfica, desde hace ya varios siglos, ha sido el de explicar, dentro de su cohesi¨®n interna, los fundamentos sobre los que edificar teor¨ªas ya conocidas. Y es precisamente este papel el que ha producido los m¨¢s variados y sabrosos frutos cient¨ªficos a lo largo de la historia.

Axiomas

Una de las cimas de la ciencia griega son Los elementos, de Euclides, que, entre otros m¨¦ritos, contiene una presentaci¨®n del m¨¦todo axiom¨¢tico: Euclides enuncia unas pocas propiedades de naturaleza evidente, o axiomas, a partir de los cuales se deduce todo lo dem¨¢s. Por ejemplo: por dos puntos pasa una ¨²nica l¨ªnea recta. Entre dichos axiomas hab¨ªa uno, llamado de las paralelas, que desde un principio pareci¨® el menos obvio. Dice as¨ª: por un punto exterior a una recta s¨®lo podemos trazar una paralela. El por qu¨¦ a los griegos les parec¨ªa menos evidente que los otros es un misterio: quiz¨¢ podemos conjeturar que en un mundo m¨¢s peque?o como era el de la Grecia cl¨¢sica, donde viajar resultaba azaroso y donde no estaba claro en qu¨¦ consist¨ªan los confines del mundo conocido, un axioma cuya verificaci¨®n implicaba considerar largas distancias resultar¨ªa sospechoso. Esto son especulaciones, pero la realidad es que durante muchos siglos fue un objeto del deseo encontrar una demostraci¨®n rigurosa de este axioma a partir de los dem¨¢s. La respuesta dada por Gauss, Bolyai y Lobachetsky tuvo que esperar hasta el siglo XIX, y dio lugar a una revoluci¨®n cient¨ªfica, a una nueva concepci¨®n del espacio y del tiempo. Tanto es as¨ª, que Gauss renunci¨® a publicar sus trabajos sobre el tema por miedo a la reacci¨®n de la Iglesia protestante alemana. Su respuesta consisti¨® en algo tan simple como la construcci¨®n de otras geometr¨ªas, donde todos los axiomas se cumplen excepto el de las paralelas. Algunos de estos modelos parecen mundos extra?os, pero otros resultan tan naturales a la experiencia humana como la geometr¨ªa de la superficie de la Tierra.

Este nuevo punto de vista trajo conceptos tan importantes como los de curvatura, geod¨¦sicas y la creaci¨®n de nuevos espacios con geometr¨ªas distintas. Estas ideas fueron retornadas por Minkowski, Poincar¨¦ y, sobre todo, Einstein, en su teor¨ªa general de la relatividad, y supusieron un replanteamiento moderno de las dudas griegas: ?cu¨¢l es la geometr¨ªa de nuestro universo? Se trata de una pregunta f¨¢cil con una respuesta complicada y, de hecho, hoy por hoy, incompleta, pero que pone de manifiesto el papel que juega en la din¨¢mica cient¨ªfica el af¨¢n matem¨¢tico de entender y clasificar cuestiones aparentemente triviales, como puede parecer a simple vista el axioma de las paralelas.

Puntos en el ret¨ªculo

Consideremos el siguiente problema. Supongamos que estamos en un plano que hemos cubierto con baldosas cuadradas de lado 1 cent¨ªmetro. ?Cu¨¢ntas baldosas de ¨¦sas hay dentro de un c¨ªrculo de radio R muy grande, digamos de un kil¨®metro? La respuesta precisa a esta pregunta no se puede expresar de manera sencilla, pero una respuesta aproximada es f¨¢cil de obtener: como cada baldosa tiene ¨¢rea 1, simplemente dividimos el ¨¢rea del c¨ªrculo, R2, entre el ¨¢rea de cada baldosa, teniendo cuidado de que R est¨¦ expresado en cent¨ªmetros. Con la excepci¨®n de las baldosas cerca de la frontera del c¨ªrculo, que en proporci¨®n son pocas, esta manera de contar da una respuesta satisfactoria, con un error relativo aproximado de 1:R. Podemos expresar esta relaci¨®n de manera esquem¨¢tica de la manera siguiente:

n¨²mero de puntos = PiR2 + error

donde el error en este caso es parecido a 2 Pi R, que en proporci¨®n es m¨¢s peque?o.

Sin embargo, esta pregunta es m¨¢s trascendente de lo que pueda parecer a primera vista: si la geometr¨ªa en la que estamos no es eucl¨ªdea, el n¨²mero de baldosas cerca de la frontera puede ser parecido al n¨²mero de baldosas en el interior. Dicho de otro modo, en un pa¨ªs de geometr¨ªa no eucl¨ªdea, la longitud de sus costas es parecido al ¨¢rea del interior (caso de Noruega, pero por motivos distintos). En particular, el error mencionado antes podr¨ªa ahora ser comparable al t¨¦rmino del ¨¢rea, lo que har¨ªa a esta manera de contar completamente in¨²til.

Si llevamos este problema al caso del universo en el que vivimos, donde las baldosas son reemplazadas por estrellas y los c¨ªrculos grandes por galaxias, el problema se complica ostensiblemente, por supuesto, pero muchas de las cuestiones fundamentales permanecen. Con un buen estudio del problema de IOS puntos del ret¨ªculo podr¨ªamos, en principio, intentar contar estrellas en galaxias y de esa manera adivinar en qu¨¦ tipo de geometr¨ªa vivimos. Esto constituye un esfuerzo altamente complicado, pero la respuesta parece ser que a distancias cortas, las que observamos a diario, la geometr¨ªa es eucl¨ªdea, pero a distancias mucho mayores, intergal¨¢cticas, no es as¨ª.

Este problema no s¨®lo tiene aplicaciones geom¨¦tricas y cosmol¨®gicas, como hemos expuesto, sino tambi¨¦n sirve para contar nodos de oscilaciones en ingenier¨ªa y, como explicamos m¨¢s adelante, para problemas cu¨¢nticos relacionados con los orbitales electr¨®nicos.

La escuela pitag¨®rica (siglo VI antes de Jesucristo) cre¨ªa literalmente que los n¨²meros eran los componentes ¨²ltimos del universo, los ingredientes efectivos de todos los objetos materiales. Hoy en d¨ªa esto parece exagerado, pero a aquellos maravillosos griegos no les impidi¨® hacer descubrimientos aritm¨¦ticos fundamentales, ni formular problemas y conjeturas plausibles, algunas de las cuales todav¨ªa constituyen un desaf¨ªo al ingenio humano.

El punto de vista reduccionista considera que el conocimiento de las ecuaciones de la f¨ªsica, o primeros principios, y la posesi¨®n de m¨¦todos matem¨¢ticos adecuados nos permitir¨ªan reducir las propiedades f¨ªsico-qu¨ªmicas del mundo que nos rodea. Si bien esta filosofia puede ser considerada tan radical como la pitag¨®rica, lo cierto es que las diversas teor¨ªas cient¨ªficas, p¨¢lidas aproximaciones a la enso?ada teor¨ªa del todo, describen bastante bien determinados aspectos de la vida cotidiana y de nuestra propia existencia.

Uno de los problemas con los que se encuentra la mec¨¢nica cu¨¢ntica es que, a pesar de sus ecuaciones predicen con gran precisi¨®n los fen¨®menos at¨®micos, dichas ecuaciones son al mismo tiempo muy dif¨ªciles de resolver. Esto tuvo como consecuencia una intensa actividad para entender las soluciones con diversos grados de aproximaci¨®n. Hartree, Fock, Thomas, Fermi, Slater y Dirac son algunos de los que se encargaron de estudiar diversas aproximaciones.

Otro de los problemas con lo que se enfrenta la teor¨ªa cu¨¢ntica es la explicaci¨®n de fen¨®menos cualitativos. ?Por qu¨¦ la materia es estable?, ?por qu¨¦ la materia es neutra?, ?por qu¨¦ algunos elementos se forman en mol¨¦culas, mientras otros permanecen en forma at¨®mica?, si el universo empezara de nuevo, y tuvi¨¦ramos electrones y protones, ?se formar¨ªan ¨¢tomos?, ?qu¨¦ son los orbitales electr¨®nicos? Si no nos conformamos con explicaciones fenomenol¨®gicas, y pedimos una respuesta rigurosa, una deducci¨®n matem¨¢tica a partir de los primeros principios, nos encontramos con su dificultad intr¨ªnseca, y de la enorme cantidad de ideas y herramientas matem¨¢ticas que su respuesta involucra.Astucias de la raz¨®n

El problema de los puntos del ret¨ªculo, a la larga, desempe?a un papel fundamental. en los dos tipos de preguntas arriba mencionadas. Por una parte, y de modo muy somero, el problema de la aproximaci¨®n dada por el volumen del c¨ªrculo no presenta ninguna dificultad. La similitud no acaba ah¨ª: la naturaleza oscilator¨ªa que se encuentra en la idea de los orbitales electr¨®nicos, y en la estructura de la, tabla peri¨®dica de los elementos est¨¢ ¨ªntegramente ligada tambi¨¦n al error cometido al contar puntos del ret¨ªculo.

La raz¨®n por la cual problemas b¨¢sicos como el de los puntos del ret¨ªculo aparecen en situaciones tan dispares como las arriba mencionadas puede no estar clara, pero una cosa es segura: en nuestros intentos por entender la naturaleza de un modo matem¨¢tico, preguntas profundas, de ubicuidad misteriosa, seguir¨¢n planteando desaf¨ªos al ingenio humano. Las astucias de la raz¨®n y las ideas necesarias para entender sus respuestas han llevado, y lo seguir¨¢n haciendo, a. cambiar nuestros puntos de vista respecto al tiempo y al espacio. La reflexi¨®n sobre problemas matem¨¢ticos fundamentales, desde una perspectiva cient¨ªfica amplia y actual, constituye una de las claves en el proceso de enriquecimiento de nuestro conocimiento y, dominio del universo.