Cien a?os de teor¨ªa de conjuntos

La teor¨ªa de conjuntos fue, creada por un solo hombre, Georg Cantor, que la desarroll¨® durante 25 a?os de trabajo fren¨¦tico. Con la publicaci¨®n de la segunda parte de sus Contribuciones a la fundamentaci¨®n de la teor¨ªa de conjuntos transfinitos, en 1897 (hace ahora cien a?os), conclu¨ªa su obra, de una originalidad deslumbrante. Contra la oposici¨®n de la mayor¨ªa de sus colegas, Cantor aplic¨® el m¨¦todo matem¨¢tico al ¨¢mbito previamente brumoso de lo transfinito, estudiando sus tipos de orden y sus tama?os, y creando la teor¨ªa de los n¨²meros ordinales y cardinales infinitos.As¨ª como no todos los conjuntos finitos son iguales en tama?o, tampoco lo son los inf¨ªnitos. Hay la misma cantidad de n¨²meros naturales que de n¨²meros raciona les, pero Cantor prob¨® (con su famoso argumento diagonal) que hay m¨¢s n¨²meros reales que naturales. Para medir la cantidad de elementos que tiene un conjunto introdujo los cardinales transfinitos. El primer cardinal transfinito mide la cantidad de n¨²meros naturales. Hay tantos n¨²meros reales como puntos hay en la recta eucl¨ªdea, una entidad geom¨¦trica continua. Por eso, el conjunto de los n¨²meros reales se llama el continuo. ?Cu¨¢ntos elementos tiene el continuo? Cantor conjeturaba que tiene la segunda cardinalidad transfinita, lo cual constituye la hip¨®tesis del continuo. Trat¨® desesperadamente de demostrar esta hip¨®tesis, sin conseguirlo. Tambi¨¦n trat¨® de justificar la aplicabilidad universal de su teor¨ªa de los n¨²meros ordinales probando que todo conjunto puede ser bien ordenado. La prueba del teorema del buen orden la consigui¨® Zermelo en 1904, y la explicitaci¨®n de los supuestos de la prueba le condujo en 1908 a la axiomatizaci¨®n de la teor¨ªa de conjuntos.

Nadie puede probar ni refutar la hip¨®tesis del continuo, pues hoy sabemos que es independiente de los axiomas usuales de la teor¨ªa de conjuntos. G?del prob¨® en 1938 (mediante el modelo interno de los conjuntos constructibles) que la hip¨®tesis del continuo es consistente con los otros axiomas. Paul Cohen prob¨® en 1963 (mediante el m¨¦todo del forcing, que le permit¨ªa hinchar el modelo g?deliano con nuevos conjuntos) que tambi¨¦n la negaci¨®n de la hip¨®tesis del continuo es consistente con los otros axiomas. De hecho, los axiomas usuales de la teor¨ªa de conjuntos (ZFC) son compatibles con cualquier cardinalidad transfinita que queramos asignar al conjunto de los n¨²meros reales.

La situaci¨®n actual de la teor¨ªa de conjuntos es similar a la de la geometr¨ªa tras el descubrimiento de la independencia del axioma de las paralelas, que dio lugar al desarrollo de las geometr¨ªas no eucl¨ªdeas. Hay muchas teor¨ªas de conjuntos distintas, que aceptan o rechazan alguno o varios de los m¨²ltiples e incompatibles principios propuestos, y que van desde el axioma de constructibilidad hasta el de forcing fuerte, pasando por el de Martin y una serie de afirmaciones de existencia de cardinalidades grandes. La sangre no llega al r¨ªo, pues todas estas extensiones propuestas de la teor¨ªa tradicional de conjuntos tienen una amplia intersecci¨®n com¨²n que contiene todos los resultados y definiciones necesarios para el desarrollo de las teor¨ªas matem¨¢ticas usadas en la ciencia real, como la geometr¨ªa diferencial. Las diversas teor¨ªas s¨®lo se diferencian en dominios muy avanzados y alejados de la aplicaci¨®n. El parto de la teor¨ªa de conjuntos dej¨® agotado a Cantor, que pas¨® el resto de su vida en crisis nerviosas e internamientos en cl¨ªnicas psiqui¨¢tricas. Muri¨® encerrado en el manicomio de Halle en 1918. Pero su obra pervive y ha impregnado la ense?anza y la investigaci¨®n, impulsando la unificaci¨®n de toda la matem¨¢tica superior sobre la base de su uniforme presentaci¨®n conjuntista. Incluso perviven algunos de sus fantasmas, que nos siguen atormentando.