S¨®lo dos medallas Fields en el Congreso Internacional de Matem¨¢ticos

Pek¨ªn, 20 de agosto de 2002. El monumental Palacio del Pueblo, en la plaza de Tiananmen, junto a la grandiosa y enigm¨¢tica Ciudad Prohibida de los emperadores de las dinast¨ªas Ming y Qing, acoge a m¨¢s de 4.000 matem¨¢ticos venidos de todas partes del mundo. El presidente de China, Jiang Zemin, acompa?ado de varios de sus ministros, del comit¨¦ ejecutivo de la Uni¨®n Matem¨¢tica Internacional (UMI) y de destacados matem¨¢ticos como el gran ge¨®metra chino S. S. Chern, o el premio Nobel de Econom¨ªa John F. Nash, se dispone a entregar las medallas Fields y el premio Nevanlinna. La inmensa sala, en expectante silencio, aguarda a que el presidente de la UMI, el brasile?o Jacob Palis, desvele los nombres de los galardonados correspondientes al cuatrienio 1999-2002. Es el momento culminante de la ceremonia inaugural del Congreso Internacional de Matem¨¢ticos (ICM2002).

La siguiente cita mundial de los matem¨¢ticos ser¨¢ en Madrid en 2006

El presidente de China entreg¨® los galardones en el Palacio del Pueblo

Los ICM nacieron en 1887 en Z¨²rich y desde 1900 vienen celebr¨¢ndose cada cuatro a?os, salvo por las excepciones correspondientes a las guerras mundiales. Constituyen el mayor acontecimiento cient¨ªfico y social de la comunidad matem¨¢tica internacional, siendo la entrega de las medallas Fields uno de sus momentos culminantes. Estas medallas, que deben su nombre a su creador e impulsor, el matem¨¢tico canadiense John C. Fields, son el m¨¢ximo reconocimiento cient¨ªfico en matem¨¢ticas, una suerte de Premio Nobel de Matem¨¢ticas, y vienen imponi¨¦ndose ininterrumpidamente desde el Congreso de Oslo de 1936 cuando el rey Haakon VII de Noruega entreg¨® la primera al matem¨¢tico finland¨¦s Lars Ahlfors.

La medalla Fields, aunque equivalente al Premio Nobel en cuanto a prestigio, se diferencia de ¨¦ste en varios aspectos. El m¨¢s llamativo es que, siguiendo escrupulosamente una regla no escrita, se concede s¨®lo a matem¨¢ticos de menos de 40 a?os. En cada congreso se otorgan habitualmente cuatro medallas, nunca m¨¢s de cuatro, sin superar el ritmo de una por a?o. Finalmente, la cuant¨ªa econ¨®mica de la medalla Fields es simb¨®lica comparada con la del Nobel.

El premio Nevanlinna se concede a los m¨¢s importantes avances en los aspectos matem¨¢ticos de la Teor¨ªa de la Informaci¨®n y de la Computaci¨®n. Este premio, que honra la memoria del matem¨¢tico finland¨¦s Rolf Nevanlinna y que se concede desde el congreso de Varsovia de 1983, supone un reconocimiento por parte de la UMI a la importancia creciente de la Computaci¨®n en las Matem¨¢ticas.

En esta ocasi¨®n, y para sorpresa general, se han otorgado s¨®lo dos medallas: al franc¨¦s Laurent Lafforgue, del Institut des Hautes Etudes Scientifiques de Par¨ªs, y al ruso Vladimir Voevodsky, del Institute for Advanced Study de Princeton. El premio Nevanlinna recay¨® en el hind¨² Madhu Sudan, del Massachusetts Institute of Technology.

Los medallistas Fields del ICM2002 comparten varias caracter¨ªsticas. Ambos nacieron en 1966, ambos son investigadores permanentes en institutos de investigaci¨®n cient¨ªfica del m¨¢ximo prestigio, y en ambos casos los trabajos por los que han sido galardonados muestran la ¨ªntima relaci¨®n entre ramas aparentemente distintas y distantes de las matem¨¢ticas, ahondando as¨ª en su unidad profunda.

El trabajo de Lafforgue ha supuesto un important¨ªsimo avance en el desarrollo del llamado Programa Langlands, una serie de conjeturas formuladas por primera vez por el matem¨¢tico canadiense Robert P. Langlands en 1967 y que conjeturaban una correspondencia entre la Teor¨ªa de N¨²meros y el An¨¢lisis (es decir, el estudio de las funciones) por medio de las denominadas representaciones de Galois. Desde entonces, estas conjeturas han supuesto un desafiante programa de investigaci¨®n, todav¨ªa inacabado. Por ejemplo, la demostraci¨®n del famoso ?ltimo Teorema de Fermat, obtenida en 1994 por el brit¨¢nico Andrew Wiles (quien, por s¨®lo un a?o, no pudo recibir la medalla Fields por la restricci¨®n de edad) se encuadra dentro de este programa. Lafforgue ha demostrado que existe un diccionario perfecto entre las representaciones de Galois de los cuerpos de funciones y las formas automorfas de los mismos, mostrando que ambas cosas son dos caras de la misma moneda. Su resultado ocupa m¨¢s de 240 p¨¢ginas en una de las revistas m¨¢s prestigiosas del mundo y extiende el trabajo del tambi¨¦n medallista Fields Vladimir Drinfeld. Aunque de gran complejidad y abstracci¨®n, el Programa Langlands est¨¢ en la base de algunas aplicaciones actuales de las curvas el¨ªpticas para la criptograf¨ªa y teor¨ªa de c¨®digos.

Vladimir Voevodsky ha establecido una correspondencia similar entre el ?lgebra y la Topolog¨ªa. M¨¢s concretamente entre los K-grupos y los grupos de Cohomolog¨ªa Mot¨ªvica para variedades algebraicas. Los primeros pertenecen al ?lgebra, es decir captan la estructura interna (aritm¨¦tica) del objeto. Los segundos, invenci¨®n genuina de Voevodski, pertenecen a la Topolog¨ªa y reflejan propiedades relativas a la forma del objeto.

Madhu Sudan, el sexto premio Nevanlinna, tambi¨¦n naci¨® en 1966. Los c¨®digos correctores, como los que se usan en los CD de m¨²sica o en las transmisiones v¨ªa sat¨¦lite, a?aden informaci¨®n redundante para poder detectar y corregir autom¨¢ticamente los errores que inevitablemente se producen al transmitir informaci¨®n. Sudan ha mostrado c¨®mo mejorar sustancialmente la capacidad de correcci¨®n de algunos c¨®digos; un resultado de notable aplicaci¨®n pr¨¢ctica. Cuando se comprueba una demostraci¨®n matem¨¢tica hay que verificar exhaustivamente todos y cada uno de los pasos. Sudan, en colaboraci¨®n con otros varios investigadores, ha demostrado c¨®mo codificar las demostraciones en cadenas de bits, de manera que verificando s¨®lo la exactitud de una cantidad extremadamente peque?a de bits se tenga una alta confianza (en t¨¦rminos estad¨ªsticos) de la correcci¨®n de la prueba. Un resultado con potenciales aplicaciones importantes a cuestiones tales como la firma digital o la miner¨ªa de datos.

El ICM2002 de Pek¨ªn se clausur¨® con el anuncio de que el pr¨®ximo congreso internacional, el ICM2006, tendr¨¢ lugar, por primera vez, en Espa?a, concretamente en Madrid. La propuesta para organizarlo es iniciativa conjunta de las cuatro sociedades matem¨¢ticas que representan a nuestro pa¨ªs en la UMI: la Real Sociedad Matem¨¢tica Espa?ola, la Sociedad Espa?ola de Matem¨¢tica Aplicada, la Societat Catalana de Matem¨¤tiques y la Sociedad Espa?ola de Estad¨ªstica e Investigaci¨®n Operativa. La designaci¨®n de Espa?a como sede del ICM2006 supone el reconocimiento por parte de la UMI del excelente nivel alcanzado por nuestra investigaci¨®n matem¨¢tica.

El ICM supone una aut¨¦ntica feria que re¨²ne a matem¨¢ticos de todo el mundo ¨¢vidos de conocer las tendencias y las direcciones m¨¢s atractivas y actuales de investigaci¨®n. La organizaci¨®n en China del ICM2002 ha sido ejemplar, desde el apoyo de Jiang hasta los cientos de estudiantes voluntarios que atend¨ªan a los congresistas. Ahora es el turno de la comunidad matem¨¢tica espa?ola que durante los pr¨®ximos cuatro a?os ser¨¢ centro de las miradas de la matem¨¢tica mundial y que, a trav¨¦s del esfuerzo colectivo de organizaci¨®n del congreso, dispone de una oportunidad ¨²nica para asentar definitivamente el espectacular desarrollo de las matem¨¢ticas espa?olas.

Carlos Andradas Heranz, Universidad Complutense de Madrid. Jos¨¦ Luis Fern¨¢ndez, Universidad Aut¨®noma de Madrid