La b¨²squeda de los infinitos decimales de pi (y II)

'FRENTE A LA SIMPLICIDAD DEL C?RCULO est¨¢ la complejidad del n¨²mero pi. Un 3 con infinitos decimales'. Un n¨²mero tras el cual Robeson, profesor de Max Cohen (el protagonista del filme Pi del que se hablaba en esta secci¨®n la pasada semana), ha pasado 40 a?os de su vida buscando un modelo, una forma ordenada tras esa ristra infinita de d¨ªgitos.

Y es que, tras su aparente sencillez (pi es, por ejemplo, la longitud de una circunferencia de di¨¢metro 1), se esconden sorprendentes propiedades. Los egipcios (mileno II a. C.), tan pr¨¢cticos ellos, empleaban la aproximaci¨®n 3,16 en sus c¨¢lculos de vol¨²menes de dep¨®sitos. Los griegos, con Arqu¨ªmedes (siglo III a. C.) a la cabeza, fueron mucho m¨¢s lejos al buscar m¨¦todos para el c¨¢lculo de pi que no fuesen la medici¨®n directa de la circunferencia. Este c¨¦lebre matem¨¢tico empleaba el m¨¦todo geom¨¦trico de inscribir y circunscribir a una circunferencia pol¨ªgonos regulares. Duplicando seis veces un dec¨¢gono (pol¨ªgono de 10 lados) determin¨® ya la aproximaci¨®n de pi, 3,1416, que aparece en nuestros libros escolares.

Hasta el siglo XVI, el m¨¦todo de Arqu¨ªmedes se emple¨® con profusi¨®n, pese a lo engorroso de los c¨¢lculos. El franc¨¦s Vi¨¨te (s. XVI), determin¨® el valor de pi con 10 cifras y dio una de las primeras f¨®rmulas para su c¨¢lculo. Otro matem¨¢tico de la ¨¦poca, el holand¨¦s Van Ceulen, obtuvo una aproximaci¨®n con 35 cifras a base de calcular el per¨ªmetro de pol¨ªgonos de ?un trill¨®n de lados! El valor de pi obtenido figura en su epitafio.

A partir del siglo XVII, con la evoluci¨®n de las matem¨¢ticas, aparecen nuevas herramientas, como el c¨¢lculo infinitesimal. Se buscan f¨®rmulas, expresiones anal¨ªticas m¨¢s que m¨¦todos, para el c¨¢lculo de pi. El ingl¨¦s Wallis (1665) y el alem¨¢n Leibniz (1674) deducen f¨®rmulas que contienen productos o sumas infinitos. Se trata de sucesiones de 'convergencia' lenta: a?os de c¨¢lculo apenas s¨ª proporcionar¨ªan un centenar de cifras exactas de pi.

A partir del siglo XVIII, todas las determinaciones de pi se basan en variantes del m¨¦todo inventado por Machin (1706), basado en el desarrollo de la funci¨®n trigonom¨¦trica arcotangente cuya serie es r¨¢pidamente convergente. Muchos calculistas se empecinaron en encontrar m¨¢s decimales de pi. Shanks adquiri¨® una cierta notoriedad al determinar pi con 607 decimales. Una tediosa tarea en la que emple¨® 20 a?os de su vida. Por desgracia, cometi¨® un error: ?a partir del decimal 528 todas las cifras son incorrectas!

La irrupci¨®n del ordenador dio nuevos br¨ªos a los esfuerzos por encontrar m¨¢s decimales de pi. Fue una de las tareas encomendadas al ENIAC, el primer ordenador electr¨®nico. En 1949, tras 70 horas de funcionamiento gener¨® 2037 decimales de este escurridizo n¨²mero. Felton (1957) intent¨® calcular 10.000 cifras pero por un error de la m¨¢quina, solamente los 7.480 primeros d¨ªgitos resultaron correctos. En 1961, un ordenador IBM sobrepas¨® las 100.000 cifras, tras nueve horas de trabajo. Avances posteriores en el campo de la computaci¨®n han permitido conseguir miles de millones de d¨ªgitos de pi.

?Un pasatiempo ocioso? Si bien es cierto que en las aplicaciones pr¨¢cticas resultan suficientes no m¨¢s de una decena de decimales de pi (las cifras que proporciona nuestra calculadora de bolsillo), el tiempo y esfuerzo dedicado a su c¨¢lculo son justificados. Como apunta el matem¨¢tico J. Newman, por un lado se ten¨ªa la esperanza de que al estudiar series infinitas podr¨ªa hallarse alguna clave sobre la naturaleza de pi. Algo que Max, el protagonista del filme, persigue con ah¨ªnco.

Por otro, esta b¨²squeda ha constituido una fuente de est¨ªmulo a la actividad matem¨¢tica. El uso de sus decimales en t¨¦cnicas inform¨¢ticas actuales de cifrado y de criptograf¨ªa a?aden a¨²n m¨¢s relieve a la importancia de este sorprendente n¨²mero. Pi cae en la categor¨ªa de los n¨²meros irracionales (n¨²meros decimales con infinitas cifras no peri¨®dicas), como ra¨ªz de 2.

Hoy, los matem¨¢ticos parecen convencidos de que el desarrollo decimal de pi es 'aleatorio', como cualquier sucesi¨®n de n¨²meros elegida al azar. Si esto se demostrase, significar¨ªa que en ese desarrollo est¨¢ escrita cualquier combinaci¨®n finita de n¨²meros que podamos imaginar. O, dicho de otra forma, como se?ala M. Gardner en el delicioso texto sobre acertijos matem¨¢ticos, Paradojas (1983): 'En alg¨²n punto del desarrollo de pi comienza una sucesi¨®n de cifras que codifica todo el saber contenido en una enciclopedia'.

Todo, absolutamente todo lo acontecido, lo que est¨¢ por venir, estar¨ªa contenido en las cifras de pi. Bastar¨ªa con encontrar la clave. ??nimo, Max!