100 a?os del espacio de Hilbert

Qui¨¦n de nosotros no querr¨ªa levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los pr¨®ximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?

As¨ª comenz¨® David Hilbert (1862-1943) su intervenci¨®n en el Congreso Internacional de Matem¨¢ticas celebrado en Par¨ªs en 1900. A continuaci¨®n plante¨® 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matem¨¢ticas en el siglo XX. Hace 100 a?os Hilbert era, en contraste con la situaci¨®n de Einstein durante su annus mirabilis 1905 reci¨¦n conmemorado, uno de los matem¨¢ticos con mayor prestigio y, probablemente, el m¨¢s influyente.

Por aquellos a?os, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuaci¨®n es una igualdad entre dos expresiones matem¨¢ticas en las que hay un n¨²mero desconocido, la inc¨®gnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuaci¨®n integral la inc¨®gnita no es un n¨²mero, sino una funci¨®n -una gr¨¢fica- cuya f¨®rmula se quiere conocer y que aparece en la ecuaci¨®n dentro de una integral. En la serie de art¨ªculos Fundamentos de una teor¨ªa general de las ecuaciones integrales, Hilbert analiz¨® las t¨¦cnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincar¨¦ y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto art¨ªculo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas inc¨®gnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres inc¨®gnitas: tres n¨²meros ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos n¨²meros se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geom¨¦tricas como ¨¢ngulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geom¨¦tricas an¨¢logas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no s¨®lo las tres cotidianas.

Este art¨ªculo de 1906 es el primer hito en la historia del An¨¢lisis Funcional, que as¨ª se llama el estudio de las funciones consideradas dentro de un espacio com¨²n, no como entes aislados, y de las transformaciones geom¨¦tricas de unas funciones en otras que pueden llevarse a cabo. Como muestras de la importancia del An¨¢lisis Funcional en estos 100 a?os, tanto en su vertiente de herramienta aplicable a otras disciplinas como de motor del desarrollo interno de las matem¨¢ticas, basten dos botones. En primer lugar, el Espacio de Hilbert es la herramienta esencial de la formulaci¨®n matem¨¢tica de la Mec¨¢nica Cu¨¢ntica, realizada por Dirac y von Neumann. En segundo lugar, la concesi¨®n de dos de las 10 ¨²ltimas Medallas Fields -la m¨¢s alta condecoraci¨®n, con el Premio Abel, de las matem¨¢ticas- a Jean Bourgain y a William Timothy Gowers cuyos trabajos representan, hasta cierto punto, las vertientes aplicable y abstracta del An¨¢lisis Funcional.

En Espa?a tenemos motivos sobrados para conmemorar el centenario del An¨¢lisis Funcional. El Informe sobre la investigaci¨®n matem¨¢tica en Espa?a en el per¨ªodo 1990-1999 de Carlos Andradas y Enrique Zuazua muestra como la producci¨®n matem¨¢tica espa?ola dobl¨® en ese per¨ªodo su porcentaje mundial, situando a nuestro pa¨ªs entre los 10 m¨¢s productivos. En dicho informe se comprueba que el An¨¢lisis Funcional es, de las 61 especialidades matem¨¢ticas consideradas, la m¨¢s prol¨ªfica en cuanto al n¨²mero de publicaciones, con un 9% del total nacional. Este florecimiento no hubiera sido posible sin la labor pionera de algunos miembros de la generaci¨®n de matem¨¢ticos espa?oles nacidos en torno a 1930, de los que es de justicia destacar a Manuel Valdivia Ure?a.

El Congreso Internacional de Matem¨¢ticas que se celebrar¨¢ en Madrid, en agosto, ser¨¢ un buen momento para brindar por estos 100 a?os que llevamos viviendo en el Espacio de Hilbert.

Pedro J. Pa¨²l es catedr¨¢tico de Matem¨¢tica Aplicada en la Universidad de Sevilla.