Im¨¢genes matem¨¢ticas

A primera vista, nada hay m¨¢s distante que el arte y las matem¨¢ticas. El primero, el reino de la creaci¨®n libre, de lo ¨²nico e irrepetible, poco tiene que ver con las segundas, el dominio de la exactitud, la precisi¨®n, la regularidad. Aparentemente, la poes¨ªa no casa con los teoremas, ni el bodeg¨®n con los logaritmos. Sin embargo, el arte fractal ha venido a cuestionar esa impresi¨®n. Sus composiciones gr¨¢ficas, de una impactante y extra?a belleza, se apoyan en un patr¨®n que, con variaciones, se repite infinitamente por medio de f¨®rmulas matem¨¢ticas complejas.

La palabra fractal la acu?¨® en 1975 el matem¨¢tico Benoit Mandelbrot a partir del lat¨ªn fractus, que significa "fragmentado" o "irregular". Al investigador de origen polaco le desvelaba el hecho de que las formas perfectas de la geometr¨ªa griega -conos, cuadrados, par¨¢bolas y elipses- s¨®lo existiesen en la mente humana, mientras la naturaleza presenta contornos sensiblemente distintos. "Las nubes no son esferas, ni las monta?as conos, ni las costas circulares, ni las cortezas lisas", advirti¨®, "ni el rayo se mueve en l¨ªnea recta". Razonando por esa senda desarroll¨® una teor¨ªa equipada con f¨®rmulas y explicaciones matem¨¢ticas capaces de dar cuenta de los patrones irregulares que organizan el mundo real.

Por decirlo de modo sencillo, las figuras fractales surgen de la repetici¨®n de la misma pauta a distintas escalas. As¨ª, una roca presenta un perfil escarpado muy similar al de la monta?a a la que pertenece. Otros ejemplos los tenemos en las hojas de los helechos, en la estructura de los bronquios o en la del sistema vascular. Mandelbrot no fue el primero en reflexionar sobre esas formas; pero s¨ª fue pionero en el uso de ordenadores para representarlas y verificarlas gr¨¢ficamente. Pero al hacerlo se hallaba muy lejos de pensar que sus investigaciones en la geometr¨ªa de la naturaleza contribuir¨ªan en unos pocos a?os a una explosi¨®n de creatividad digital.

El gran salto del arte fractal tuvo lugar con la llegada de los algoritmos de color, secuencias inform¨¢ticas que permiten colorear la misma f¨®rmula de las m¨¢s diversas maneras. Hoy, las espirales y arborescencias de esas figuras de abigarrado cromatismo se han hecho tan populares que Mandelbrot ha admitido que "ayudan a tender puentes en el abismo que separa las cuestiones matem¨¢ticas de la gente de la calle". De ah¨ª que los organizadores del Congreso Internacional de Matem¨¢ticos ICM2006, que se celebrar¨¢ del 22 al 30 de agosto en Madrid, incluyesen entre las actividades paralelas un Concurso Internacional de Arte Fractal, organizado con la colaboraci¨®n de la Fundaci¨®n Espa?ola para la Ciencia y la Tecnolog¨ªa (FECyT).

"De las m¨¢s de 300 obras presentadas, un jurado presidido por Mandelbrot escogi¨® 25, que se expondr¨¢n en el Centro Cultural Conde Duque", indica Ra¨²l Ib¨¢?ez, uno de los comisarios de la muestra. Cada obra representa la expresi¨®n pl¨¢stica de una o varias f¨®rmulas matem¨¢ticas. Encore, la composici¨®n del ingeniero americano Paul de Celle, se basa en la magnificaci¨®n del Conjunto de Mandelbrot, uno de los primeros fractales dise?ados por el matem¨¢tico. "Si imaginamos ese Conjunto como un paisaje monta?oso, veremos que Encore ha sido creada con el algoritmo Slope, que asigna un mismo color a las regiones de igual altura, como en un mapa topogr¨¢fico, y con el algoritmo Lighting, que blanquea regiones iluminadas por un sol imaginario, mientras las sombreadas se oscurecen paulatinamente", explica Javier Barrallo, profesor de Arquitectura de la Universidad del Pa¨ªs Vasco y organizador del certamen. "Con ese procedimiento se dota al gr¨¢fico de un efecto tridimensional que resalta su ornamentaci¨®n".

Tambi¨¦n se inspira en un Conjunto de Mandelbrot la obra de Damien Jones Overwrought, aunque distorsionado por una turbulencia. "La coloraci¨®n l¨²gubre y apocal¨ªptica produce una respuesta emocional distinta a otras im¨¢genes fractales", comenta Barrallo, que adem¨¢s es uno de los pocos artistas fractales espa?oles con proyecci¨®n internacional.

Ninguna de estas obras habr¨ªa sido posible sin el aumento en potencia experimentado por los ordenadores. "Una peque?a imagen como la del escritorio de nuestro PC contiene 786.432 puntos. Cada uno de ellos debe calcularse con una o m¨¢s f¨®rmulas fractales, y s¨®lo ese punto pueden necesitar cientos de miles de operaciones matem¨¢ticas. Algunas de las im¨¢genes de gran formato que he elaborado han requerido varios d¨ªas para procesarse", apunta Barrallo.

Indra Family supone el tributo del belga Jos Leys al libro Las Perlas de Indra: la visi¨®n de Felix Klein, cuyas t¨¦cnicas de c¨¢lculo iterativo le descubrieron un mundo de im¨¢genes fractales por explorar. "En particular, el concepto hind¨² de Perlas de Indra alude a una red de cuerdas de seda que se expande al infinito en todas las direcciones y que contiene en cada intersecci¨®n una perla de gran brillo que refleja sobre s¨ª cada una de las perlas de la red, y as¨ª sucesivamente, como espejos hacia el infinito", se?ala el profesor de la Universidad del Pa¨ªs Vasco. En Eifiona, la artista Tina Oloyede emple¨® 13 f¨®rmulas matem¨¢ticas distintas: siete para la estructura b¨¢sica, tres para a?adir diferentes texturas y otras tres para el coloreado. El t¨ªtulo remite al nombre de una amiga suya, quien le encarg¨® el cuadro con la condici¨®n de que en ¨¦l incluyese colores oto?ales, una cualidad que ha conseguido trasmitir. Enmpperaltta, del experto en realidad virtual ??igo Qu¨ªlez, consiste en un fotograma de una animaci¨®n calculada a partir de una variante del algoritmo de Pickover, con la que se generan formas semejantes a las producidas al te?ir l¨ªquidos de diversos colores.

Al igual que la mayor¨ªa de las im¨¢genes de la exposici¨®n, Sanctuary se elabor¨® con el software Ultrafractal. Su autor, Nicholas Rougeaux, busc¨® infundir la idea de un santuario a trav¨¦s de suaves curvas, creando una sensaci¨®n de protecci¨®n y de bienvenida, y evocar con sus colores templados un lugar confortable donde los esp¨ªritus se sientan libres. En similar frecuencia de onda se sit¨²a Xolis, el cuadro abstracto de Jaroslaw Wierny, un dise?ador gr¨¢fico polaco que relaciona la filosof¨ªa budista con la estructura fractal del mundo.

La espiritualidad que destilan muchas de estas obras no es casual. Las estructuras fractales, en las que ninguna parte es arbitraria, en la que cada parte se asemeja a la otra, y a su vez se parece al todo, proporcionan las se?ales de armon¨ªa que los seres humanos han venido buscando en la Naturaleza, muchas veces guiados por un anhelo metaf¨ªsico.

De esa pauta se aparta Potemkine, la creaci¨®n del canadiense Etienne Saint-Amant. Se trata de una composici¨®n semiabstracta inspirada en la rebeli¨®n del acorazado Potemkin. "Aqu¨ª se intuye al nav¨ªo envuelto en humo, la traza de los proyectiles, el fragor de la batalla? el escenario del terrible conflicto emocional de las tropas suscitado por la orden de aplastar la rebeli¨®n y su sentimiento de compasi¨®n hacia sus compatriotas", interpreta Barrallo.

Las obras expuestas se sit¨²an a una enorme distancia t¨¦cnica de las obras de precursores como el pintor japon¨¦s Hokusai, cuyo grabado tallado a buril La gran ola de Kanagawa mostraba la disposici¨®n fractal de los remolinos en una ola rompi¨¦ndose. Sin embargo, mientras que el estatuto art¨ªstico de Hokusai se halla fuera de discusi¨®n, no ocurre lo mismo con el arte fractal. ?Cu¨¢nto de art¨ªstico hay en estas creaciones gr¨¢ficas por ordenador? Los expertos no se ponen de acuerdo. Barrallo le encuentra similitudes "con la fotograf¨ªa, cuyo reconocimiento como arte tambi¨¦n se vio rodeado de escepticismo en sus inicios". Y a?ade: "No hace falta saber muchas matem¨¢ticas; con las del bachillerato basta. Tampoco hay que pasar horas y d¨ªas interminables frente al ordenador para obtenerlas. Y tampoco el proceso de dise?o es tedioso y aburrido. Para convencerse de ello basta instalar en un ordenador un programa de los muchos que hay para generar fractales, y probar al azar", afirma Jos¨¦ Mart¨ªnez Aroza, profesor del departamento de Matem¨¢tica Aplicada de la Universidad de Granada (de los sitios donde se puede descargar programas destaca http://www.ultrafactal.com).

No ser¨ªa raro que el fascinante impacto visual de las obras logre despertar nuevas vocaciones a esta corriente de arte digital. Los organizadores, explica Ib¨¢?ez, se dar¨¢n por satisfechos con "realizar un homenaje a Mandelbrot, que el 26 de agosto dictar¨¢ una conferencia en Madrid", y con "demostrar que las matem¨¢ticas siempre han estado presentes en el arte".

La exposici¨®n de Arte Fractal ICM2006 podr¨¢ verse en el Centro Cultural Conde Duque, de Madrid, del 17 de agosto al 29 de octubre. M¨¢s informaci¨®n: www.divulgamat.net.