Grisha por los puentes de K?nigsberg

La topolog¨ªa, la especialidad de Perelman, tiene el m¨¢s encantador de los or¨ªgenes. La ciudad de K?nigsberg, la actual Kaliningrado rusa, ten¨ªa siete puentes para salvar el complicado trazado del r¨ªo Pregel. Cinco puentes daban a una isla interior y los otros dos cruzaban los brazos del r¨ªo por otros sitios. La gente se preguntaba si ser¨ªa posible cruzar la ciudad pasando solo una vez por cada puente. Y fue el gran matem¨¢tico suizo Leonard Euler quien hall¨® la respuesta.

Si llegas a la isla por un puente, se dijo Euler, tienes que salir por otro, luego la isla tiene que tener dos puentes, o cualquier otro n¨²mero par. Como ten¨ªa cinco, la respuesta era no. Lo importante fue el atajo que us¨® Euler. Se desentendi¨® del mapa real de Kaliningrado casi por completo y solo se qued¨® con un gr¨¢fico minimalista que podr¨ªa servir para otras muchas ciudades, reales o imaginarias. Prefigur¨® as¨ª la topolog¨ªa, una geometr¨ªa de las cualidades.

Perelman desarrolla unas herramientas que abren un nuevo continente a la investigaci¨®n

La topolog¨ªa se ocupa de las propiedades de un objeto que permanecen por mucho que se le deforme (sin romperlo ni abrirle agujeros). Como la A se puede deformar hasta una R, ambas letras son equivalentes para la topolog¨ªa. No as¨ª la B (con dos agujeros) ni la M (sin ninguno).

Un cubo tiene 6 caras, 8 v¨¦rtices y 12 aristas. La operaci¨®n 6+8-12 nos da la caracter¨ªstica de Euler del cubo, que es 2. Un octaedro tiene 8 caras, 6 v¨¦rtices y 12 aristas, lo que nos da una caracter¨ªstica de 8+6-12 = 2 otra vez. Sigamos subiendo el n¨²mero de caras. El dodecaedro da 12+20-30 = 2. El icosaedro da 20+12-30 = 2. Por m¨¢s que aumentemos el n¨²mero de caras, la caracter¨ªstica sigue siendo 2, y esto vale tambi¨¦n para el poliedro de infinitas caras, que es la esfera. Todos estos objetos son intercambiables para la topolog¨ªa: se pueden deformar unos en otros.

Como pasaba con las letras, sin embargo, los objetos con un agujero tienen una caracter¨ªstica distinta (0). Da igual que sea una casa de vecinos con su patio, un donut (toro, en la jerga) o una taza de caf¨¦: todos tienen caracter¨ªstica 0 y son equivalentes para la topolog¨ªa, pero en un grupo separado de la esfera y sus ac¨®litos. Unas gafas sin cristales representan otra clase m¨¢s, con dos agujeros, como un doble toro (dos donut siameses), con caracter¨ªstica -2.

Fue otro gran matem¨¢tico, el franc¨¦s Henri Poincar¨¦, quien desarroll¨® sistem¨¢ticamente los fundamentos de la topolog¨ªa a principios del siglo XX. Su ¨¦xito fue espectacular, pero se dej¨® pendiente un problema grave. No logr¨® extender del todo los anteriores principios a un mundo de cuatro dimensiones.

En nuestro mundo de tres dimensiones, los objetos sin agujeros, por muy distintos que sean, se pueden reconocer por una propiedad llamada conectividad simple. Significa que si les atas una goma el¨¢stica alrededor, siempre puedes recuperar la goma sin desatarla, solo corri¨¦ndola. Esto no pasa con un donut. Y Poincar¨¦ no pudo demostrar que lo mismo vale en un mundo de cuatro dimensiones (donde la esfera no se puede imaginar, pero s¨ª analizar matem¨¢ticamente). Supuso que s¨ª, y esa suposici¨®n pas¨® a llamarse conjetura de Poincar¨¦. Hicieron falta cien a?os para que Grisha Perelman lograra demostrarla, convirti¨¦ndola en un teorema.

Perelman no solo ha resuelto un problema que se les hab¨ªa resistido a los mejores matem¨¢ticos del mundo durante 100 a?os, sino que para hacerlo ha desarrollado unas herramientas que abren un nuevo continente a la investigaci¨®n matem¨¢tica. No olvidemos que, seg¨²n la relatividad de Einstein, vivimos en un espaciotiempo de cuatro dimensiones. La m¨¢s abstracta de las disciplinas matem¨¢ticas es ahora capaz de descubrir la forma de nuestro universo. Y ha salido gratis.