El milagroso a?o (y medio) de los n¨²meros primos

A falta de probetas o telescopios, el laboratorio del matem¨¢tico ¨Ccompletamente port¨¢til¨C consiste en una colecci¨®n de problemas de dificultad variada. Conviven en ella preguntas al alcance de las t¨¦cnicas actuales con otras que requieren, en apariencia, ideas nuevas; sin olvidar esos oscuros objetos del deseo, inconfesables incluso a los colaboradores m¨¢s cercanos, que uno espera secretamente resolver pese al convencimiento de que pasar¨¢n d¨¦cadas sin ver ning¨²n progreso. Siempre queda la esperanza de que la ciencia no avanza linealmente y, por tanto, no hay pron¨®stico fiable. Hasta el gran David Hilbert se equivoc¨® al considerar, en su lista de problemas que marcar¨ªan la investigaci¨®n del siglo XX, que la hip¨®tesis de Riemann caer¨ªa mucho antes que otro problema que se resolvi¨® en apenas treinta a?os.

Quienes se dedican al estudio de los n¨²meros primos conocen bien los l¨ªmites de estas predicciones. Ni los m¨¢s optimistas se habr¨ªan atrevido a imaginar los progresos espectaculares que ha vivido esta disciplina en el ¨²ltimo a?o y medio, desde que el matem¨¢tico de origen chino Yitang Zhang anunciara, en la primavera de 2013, que existen infinitos pares de n¨²meros primos a distancia acotada. Como explica Andrew Granville, de la Universidad de Montreal, su generaci¨®n creci¨® con la idea de que "esas preguntas eternas siempre estar¨ªan all¨ª¡±, pero los avances recientes han hecho que los j¨®venes que se inician hoy en d¨ªa en la teor¨ªa de n¨²meros ¡°sientan que todo es posible¡±. Entre ellos destaca James Maynard (nacido en 1987), que, al poco de defender su tesis doctoral, sorprendi¨® de nuevo a la comunidad matem¨¢tica con una impresionante mejora de los resultados de Zhang, que bien merece el gui?o borgiano de ¡°autor del teorema del a?o¡±.

Distancias entre n¨²meros primos

Una de las particularidades de la teor¨ªa ¡°cl¨¢sica¡± de n¨²meros, respecto a otras ¨¢reas de las matem¨¢ticas, es que muchos de sus problemas admiten un enunciado elemental, por muy dif¨ªcil que pueda resultar su soluci¨®n. Cuando, pongamos, un ge¨®metra algebraico intenta explicar sus investigaciones, el primer obst¨¢culo al que se enfrenta es que su objeto mismo de estudio es el fruto de un largo proceso de abstracci¨®n. Los teoremas de Zhang y Maynard tratan, sin embargo, de los n¨²meros que utilizamos a diario para contar; en concreto, de los n¨²meros primos, aquellos ¨²nicamente divisibles por uno y por s¨ª mismos. Por ejemplo, 2, 3, 5, 163 o 27644437 son primos, pero 15 (divisible por 3 y 5) no lo es, ni tampoco ning¨²n n¨²mero par mayor que 2. Podr¨ªamos llamarlos ¡°ladrillos b¨¢sicos de la aritm¨¦tica¡±, pues cualquier otro n¨²mero se obtiene multiplicando primos.

Los primos abundan entre los n¨²meros peque?os, pero pronto se vuelven m¨¢s y m¨¢s escasos. Su distribuci¨®n precisa sigue siendo un misterio: dado un n¨²mero primo, ?cu¨¢ntas unidades tenemos que avanzar hasta encontrar el siguiente? Esta cantidad se denomina distancia entre primos sucesivos (prime gap en ingl¨¦s). Con la excepci¨®n de 2 y 3, todos los n¨²meros primos est¨¢n separados por al menos dos unidades. Otra propiedad elemental es que los saltos entre primos pueden ser arbitrariamente grandes, pues ninguno de los n n¨²meros del intervalo (n!+1, n!+n) es primo. As¨ª se puede interpretar un t¨ªtulo como La soledad de los n¨²meros primos, la novela de Paolo Giordano. Por el contrario, cuando la distancia entre dos primos consecutivos es exactamente dos, es decir, la m¨ªnima posible, hablamos de primos gemelos; por ejemplo, 5 y 7, 311 y 313 o 360287 y 360289. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos pares de estos n¨²meros.

70 millones de separaci¨®n

El annus mirabilis de los n¨²meros primos comenz¨® en abril de 2013, cuando Zhang, por entonces un desconocido, envi¨® a la revista Annals of Mathematics ¨Cel equivalente de Nature o Science para los matem¨¢ticos¨C un art¨ªculo titulado Bounded gaps between primes, en el que demostraba que existen infinitos pares de n¨²meros primos separados por menos de 70 millones. Zhang tomaba como punto de partida los importantes trabajos de Dan Goldston, J¨¢nos Pintz y Cem Yildrim. Tras un mes de revisi¨®n por un comit¨¦ de expertos (un plazo extraordinariamente corto para una revista en la que las idas y venidas de informes de lectura pueden durar varios a?os), la versi¨®n electr¨®nica del art¨ªculo de Zhang se public¨® a mediados de mayo de 2013. Durante semanas, en los departamentos de matem¨¢ticas no se hablaba de otra cosa. Hay quien dijo entonces, con humor, que solo un matem¨¢tico es capaz de alegrarse de encontrar el n¨²mero 70 millones cuando la respuesta esperada es 2. Pero, como declar¨® el propio Goldston, ¡°la diferencia entre 2 y 70 millones no es nada en comparaci¨®n con la diferencia entre 70 millones e infinito¡±. Y la mejor prueba es que, en poco tiempo, se consigui¨® reducir la cota hasta 246.

Los primos abundan entre los n¨²meros peque?os, pero pronto se vuelven m¨¢s y m¨¢s escasos. Su distribuci¨®n precisa sigue siendo un misterio

Con este prop¨®sito se inici¨® el proyecto Polymath, una iniciativa de colaboraci¨®n masiva online nacida a ra¨ªz de una entrada del blog de Timothy Gowers. En ella, el matem¨¢tico brit¨¢nico se preguntaba si ser¨ªa posible que un nuevo modo de trabajo, basado en peque?as contribuciones de muchos matem¨¢ticos distintos a trav¨¦s de un foro p¨²blico del estilo de Wikipedia, sustituyera en ciertos casos a la forma tradicional de colaboraci¨®n, en la que un reducido n¨²mero de personas (a menudo dos o tres) discuten en privado. Convencido de que se pod¨ªan mejorar sustancialmente los resultados de Zhang, Terence Tao, de la Universidad de California, lanz¨® a principios de junio de 2013 el octavo proyecto Polymath, con el objetivo de entender mejor las t¨¦cnicas del art¨ªculo y reducir la cota de 70 millones. Durante cinco meses, expertos consagrados, doctorandos, estudiantes de licenciatura o simplemente aficionados aunaron esfuerzos para alcanzar el ansiado 2. Todav¨ªa mayor era el n¨²mero de matem¨¢ticos que, sin participar activamente, segu¨ªan a diario los avances, casi como una cuenta atr¨¢s. A finales de octubre se hab¨ªa bajado hasta 4.680, y un art¨ªculo explicando las mejoras estaba casi listo para publicaci¨®n.

Y entonces lleg¨® James Maynard. Durante su tesis en la Universidad de Oxford, hab¨ªa estudiado cuestiones muy relacionadas con las distancias entre primos. Una vez iniciado el proyecto Polymath, no pretend¨ªa continuar en esta l¨ªnea, ¡°para evitar la competici¨®n¡±. Pero un d¨ªa, trabajando en solitario, se dio cuenta de c¨®mo modificar el m¨¦todo de Goldston, Pintz y Yildrim para probar que hay infinitos pares de primos separados por menos de 600 unidades. Sus nuevas ideas no solo proporcionaban la mejor cota conocida hasta el momento, sino que adem¨¢s simplificaban la prueba de Zhang y permit¨ªan asimismo estudiar las diferencias entre primos no consecutivos. El trabajo de Maynard Small gaps between primes ¨Ctambi¨¦n publicado por Annals of Mathematics¨C suscit¨® r¨¢pidamente el entusiasmo de los miembros de Polymath, que a partir de ¨¦l obtuvieron la cota r¨¦cord de 246 incondicionalmente, y de 6 suponiendo que la llamada conjetura de Elliot-Halberstam sea cierta. Por desgracia (o por suerte), la comunidad parece estar de acuerdo en que hacen falta ideas nuevas para atacar la conjetura de los primos gemelos.

La conjetura de Erd?s

Sin embargo, otras sorpresas esperaban a los te¨®ricos de n¨²meros, que empiezan a acostumbrarse a las celebraciones. En agosto de 2014, con solo un d¨ªa de diferencia, aparecieron en el servidor arXiv dos art¨ªculos que confirmaban independientemente una conjetura formulada por el matem¨¢tico h¨²ngaro Paul Erd?s casi hace 80 a?os: el primero firmado por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao, y el segundo, de nuevo por James Maynard. Acto seguido, los cinco autores se pusieron de acuerdo para trabajar juntos, dando como resultado un nuevo texto, Long gaps between primes, publicado hace unas semanas.

No se trata, en este caso, de estudiar las distancias peque?as, sino de estimar c¨®mo de grandes pueden ser en comparaci¨®n con el tama?o de los primos. Su f¨®rmula hace intervenir diez logaritmos, un n¨²mero insultantemente alto, ¡°algo rid¨ªculo, que a nadie se le ocurrir¨ªa¡±, en palabras de Tao. ¡°Al fin y al cabo, seguimos sin entender bien los n¨²meros primos¡±. Exc¨¦ntrico entre los exc¨¦ntricos ¨Ccomo lo llam¨® la revista Time¨C, Erd?s fue uno de los cient¨ªficos m¨¢s prol¨ªficos del siglo pasado, con m¨¢s de 1500 art¨ªculos en combinatoria, teor¨ªa de n¨²meros y probabilidad, escritos con alrededor de 500 coautores, en cuyas casas se iba alojando. Tanto es as¨ª que existe un n¨²mero de Erd?s destinado a cuantificar la ¡°distancia colaborativa¡± entre matem¨¢ticos.

A lo largo de su vida, adem¨¢s de resolver miles de problemas, Erd?s plante¨® muchos otros, que le gustaba presentar acompa?ados de una recompensa econ¨®mica. Esta pod¨ªa variar entre 25 d¨®lares y 10.000, la suma m¨¢s alta, ofrecida ¡°tal vez con cierta precipitaci¨®n¡± precisamente para quien resolviera la conjetura sobre las grandes distancias entre primos. A la espera de un nuevo descubrimiento, cabe preguntarse: ?qui¨¦n pagar¨¢ los 10.000 d¨®lares?

Javier Fres¨¢n es matem¨¢tico y autor de varias libros de divulgaci¨®n, el ¨²ltimo de ellos Los n¨²meros trascendentes (CSIC-Libros de la Catarata, 2013), en colaboraci¨®n con Juanjo Ru¨¦. En la actualidad trabaja como investigador postdoctoral en el ETH de Z¨¹rich.