Acertijo del paseante que quiso cruzar todos los puentes (pero solo una vez)

EL PA?S y Materia proponen a sus lectores, cada semana, un juego de l¨®gica. Los lectores pueden enviar sus soluciones en los comentarios, y plantear nuevos acertijos y juegos. La respuesta correcta ser¨¢ ofrecida en la columna de la semana siguiente.

Si en nuestro primer acertijo (el del monje en su viaje de ida a vuelta) es f¨¢cil subvalorar la simetr¨ªa del recorrido por el hecho de que las velocidades no sean uniformes, en el del ciclista (y similares) se tiende a sobrevalorarla, y muchos contestan, a botepronto, que su velocidad media es de 20 kil¨®metros por hora, puesto que a la ida es de 30 y a la vuelta de 10. Pero hay que tener en cuenta que tarda tres veces m¨¢s tiempo en volver que en ir, puesto que a la vuelta su velocidad es tres veces menor. Si llamamos t al tiempo que tarda en ir a la playa, al regresar tardar¨¢ 3t, luego su velocidad media ser¨¢ (30t + 10x3t)/4t = 60t/4t = 15 kil¨®metros por hora.

El acertijo de Carroll se puede resolver mediante una ecuaci¨®n similar a la anterior; pero la soluci¨®n dada por el propio autor es m¨¢s sencilla y elegante:

Una milla en terreno llano le cuesta al paseante 1/4 de hora, en terreno ascendente 1/3 y al descender 1/6. Por lo tanto, recorrer la misma milla en los dos sentidos le cuesta media hora, tanto en terreno llano como en la ladera de la colina. As¨ª pues, en 6 horas habr¨¢ hecho 12 millas de ida y 12 de vuelta, 24 en total. Si las 12 millas de ida hubiesen sido casi todas de camino llano, habr¨ªa tardado un poco m¨¢s de tres horas. Si casi todas hubiesen sido cuesta arriba, habr¨ªa necesitado un poco menos de tres horas. Por lo tanto, en tres horas y media, con un error m¨¢ximo de media hora, tuvo que llegar a la cima; como sali¨® a las tres, lleg¨® all¨ª alrededor de las seis y media, con un margen de error de media hora.

Y por lo que respecta a Kant, la clave est¨¢ en la llave (del reloj), pues antes de salir de casa dio cuerda a su reloj parado, que, para simplificar, supondremos que marcaba las 4 en punto. Al llegar a casa de Schmidt se fij¨® en la hora del reloj de pared (supongamos que eran las 6), y tambi¨¦n tom¨® nota mental de la hora al despedirse (pongamos que eran las 8). Al llegar a su casa vio que su reloj marcaba, digamos, las 7 en punto, por lo que hab¨ªa estado ausente tres horas; y como hab¨ªa pasado dos charlando con su amigo, en el trayecto de ida y vuelta hab¨ªa empleado una hora, por lo que, dada la proverbial regularidad de su paso, hab¨ªa transcurrido media hora desde que saliera de casa de Schmidt; por lo tanto, eran las 8.30.

Es probable que Kant, al ir a visitar a su amigo, pasara por alguno de los siete puentes de K?nigsberg; pero obviamente no pas¨® por todos ellos, aunque tuviera que cruzar toda la ciudad, pues basta con echar una ojeada al gr¨¢fico para ver que para ir de cualquier punto a cualquier otro basta con cruzar uno o dos puentes (o ninguno). Sin embargo, supongamos que aquella tarde Kant hubiera querido recorrer la ciudad entera pasando por todos los puentes una sola vez¡­

?Hay alg¨²n punto a partir del cual un paseante puede efectuar un recorrido que pase una y solo una vez por todos los puentes de K?nigsberg?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯