Euler y los 36 oficiales
El acertijo que desconcert¨® a uno de los m¨¢s grandes matem¨¢ticos de todos los tiempos
Para determinar el orden de las terminaciones en la tercera estrofa de una sextina, hacemos con la segunda lo mismo que hemos hecho con la primera, y as¨ª sucesivamente, con lo que obtenemos el siguiente esquema:
1 6 3 5 4 2
2 1 6 3 5 4
3 5 4 2 1 6
4 2 1 6 3 5
5 4 2 1 6 3
6 3 5 4 2 1
Ning¨²n n¨²mero se repite en ninguna fila, lo que quiere decir que todas las terminaciones de los versos ocupan todos los lugares posibles. Y si a la ¨²ltima estrofa le aplicamos el mismo algoritmo transformador que a las anteriores, obtenemos de nuevo la ordenaci¨®n de la primera. Por lo tanto, la matriz de transformaci¨®n de la sextina es un cuadrado latino de orden 6. Y, por cierto, en esta ocasi¨®n la poes¨ªa podr¨ªa haberse adelantado a la matem¨¢tica, pues las primeras sextinas fueron compuestas en el siglo XII por el trovador occitano Arnaut Daniel, mientras que los primeros cuadrados latinos (denominados as¨ª por Euler mucho despu¨¦s como vimos la semana pasada) de los que hay noticia son los wafq majazi de un manuscrito ¨¢rabe del siglo XIII.
Las cuatro figuras (as, sota, caballo y rey) de una baraja se pueden colocar formando un cuadrado de 4x4 tal que cada fila y cada columna contenga todas las figuras y todos los palos, o sea, formando un cuadrado grecolatino. Como este de la izquierda:
El llamativo dise?o de la portada de la semana pasada representa un cuadrado latino de orden 10, construido en 1959 por E. T. Parker. El hecho de que la prestigiosa revista Scientific American le dedicara al descubrimiento la portada de noviembre de ese a?o da idea de su importancia. Pero ?por qu¨¦ dar tanta relevancia a la resoluci¨®n de un acertijo matem¨¢tico? Vayamos por partes¡
En 1779, Leonhard Euler escribi¨®: ¡°Una cuesti¨®n muy curiosa que ha desafiado el ingenio de muchas personas me llev¨® a emprender una investigaci¨®n que al parecer ha abierto una nueva v¨ªa en el an¨¢lisis y, en particular, en combinatoria. Es una cuesti¨®n relativa a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales de diferente rango y regimiento. Pero, despu¨¦s de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, hay que admitir que tal disposici¨®n es imposible, aunque no podemos dar una demostraci¨®n rigurosa¡±.
Euler demostr¨® que se pod¨ªa construir un cuadrado grecolatino siempre que su orden fuese impar o m¨²ltiplo de 4 (par de clase par), y conjetur¨® que no exist¨ªa ninguna soluci¨®n cuando era par de clase impar (un m¨²ltiplo de 2 que no es m¨²ltiplo de 4). Pero en 1959 R. C. Bose y S. S. Shrikhande construyeron un cuadrado grecolatino de orden 22, el primer contraejemplo a la conjetura de Euler, y E. T. Parker, como hemos visto, uno de orden 10, el m¨¢s peque?o posible de los pares de clase impar.Y un a?o despu¨¦s Parker, Bose y Shrikhande []demostraron que la conjetura de Euler es falsa para todo n ¡Ý 10. Por lo tanto, existen cuadrados grecolatinos de orden n para todo n mayor de 2, excepto para n = 6. Curiosamente, el problema de los 36 oficiales ejemplifica la ¨²nica excepci¨®n, lo cual desconcert¨® al mism¨ªsimo Euler.
Y puesto que ¨²ltimamente hemos hablado de ajedrez y de cuadrados m¨¢gicos, unamos ambos temas en un interesante acertijo. El rey blanco parte de su posici¨®n inicial en e1y recorre todo el tablero pasando una y solo una vez por cada casilla; numeramos las casillas seg¨²n el orden en que el rey las visita y, ?oh maravilla!, obtenemos un cuadrado m¨¢gico. ?Cu¨¢l ha sido el recorrido del rey?
Como el problema es de dif¨ªcil soluci¨®n, se impone dar una pista (o dos si son peque?as): los siete primeros n¨²meros de la fila 1 son 61, 62, 63, 64, 1, 2 y 3 (evidentemente, el 1 corresponde a e1, la posici¨®n inicial del rey blanco), y los siete primeros de la fila 8 son 36, 35, 34, 33, 32, 31 y 30.
Carlo Frabetti
Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯
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