Un dilema divino

Como era de esperar, con el dilema de los tres prisioneros, planteado la semana pasada, se ha prolongado la pol¨¦mica suscitada por el problema de Monty Hall, ya que el segundo se puede considerar una variante del primero (aunque contemplado desde otro ¨¢ngulo). Al primer prisionero, Alberto, no le sirve de nada saber que Bernardo no ser¨¢ indultado: ya sab¨ªa que uno de sus dos compa?eros no ser¨ªa indultado, y averiguar de cu¨¢l de los dos se trata no le aporta nueva informaci¨®n sobre su propia situaci¨®n; su probabilidad de ser indultado sigue siendo 1/3. Pero Carlos, el tercer prisionero, s¨ª tiene motivos para alegrarse: como la probabilidad de que Bernardo o ¨¦l sean indultados es 2/3, saber que Bernardo no ser¨¢ indultado convierte esos 2/3 en su probabilidad personal.

En cuanto al acertijo de las bolas blancas y negras, es la conocida paradoja de la caja de Bertrand, formulada por el matem¨¢tico franc¨¦s Joseph Bertrand a finales del siglo XIX (en la formulaci¨®n inicial, en vez de bolas blancas y negras hab¨ªa monedas de oro y de plata). Puesto que la bola blanca extra¨ªda puede haber salido de la caja con dos bolas blancas o de la caja con una bola blanca y una negra, la probabilidad de que la otra bola tambi¨¦n sea blanca parece ser 1/2; pero solo lo parece, pues la bola extra¨ªda podr¨ªa ser la blanca que acompa?a a la negra, una de las bolas de la caja con dos blancas o la otra bola de esa caja, por lo que la probabilidad de que la segunda bola tambi¨¦n sea blanca es 2/3 (obs¨¦rvese la sutil semejanza con el problema de Monty Hall y con el dilema de los tres prisioneros).

Y la paradoja de las dos corbatas deja de serlo en cuanto nos damos cuenta de que la apuesta solo es equiprobable en apariencia. Lo que ocurre es que falta informaci¨®n, y adem¨¢s se trata de una informaci¨®n imprecisa, borrosa, lo que crea una falsa impresi¨®n de simetr¨ªa. Supongamos que los dos amigos suelen gastar m¨¢s o menos lo mismo en ropa y que el precio medio de sus corbatas es de 20 euros. Si ese d¨ªa uno de ellos se ha puesto su mejor corbata, que le cost¨® 40 euros, lleva las de perder, mientras que si ha elegido una de sus corbatas m¨¢s baratas, que compr¨® por 10 euros en una liquidaci¨®n, le conviene claramente apostar. Y a la paradoja de los dos sobres se le puede aplicar un razonamiento similar.

Entre los cientos de comentarios suscitados por los acertijos de las dos ¨²ltimas semanas, algunos aluden a la paradoja de Newcomb. Y no es casual, pues se relaciona con las anteriores de una forma poco evidente pero muy significativa (la semana pr¨®xima volveremos sobre ello). Imagina que un ser divino, con la facultad de predecir el futuro, te muestra dos cofres, uno abierto y otro cerrado, y te dice: ¡°En el cofre abierto, como puedes ver, hay diez monedas de oro, y en el cerrado tal vez haya mil o tal vez est¨¦ vac¨ªo. Puedes coger ambos cofres o solamente el que est¨¢ cerrado; pero yo he previsto lo que vas a hacer, y solo en el segundo caso habr¨¦ puesto las mil monedas en el cofre cerrado¡±. ?Coger¨ªas un cofre o los dos?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯