Autorreferencia y bucles extra?os

En el Bosque del Olvido, donde dejamos a Alicia la semana pasada, el le¨®n solo puede decir ¡°Ayer me toc¨® mentir¡± un lunes o un jueves: el lunes, porque mentir¨ªa al decir que ayer (el domingo) le toc¨® mentir, y el jueves, porque dir¨ªa la verdad al decir que ayer (el mi¨¦rcoles) le toc¨® mentir. Pero el lunes el unicornio no podr¨ªa decir ¡°A m¨ª tambi¨¦n me toc¨® mentir ayer¡±, pues los lunes dice la verdad y los domingos tambi¨¦n. Por lo tanto, es jueves.

En cuanto a lo que cree la Reina Roja, si el Rey Rojo est¨¢ dormido, su creencia es falsa, luego la Reina Roja est¨¢ despierta, luego creer¨¢, acertadamente, que el Rey Rojo est¨¢ dormido. Si el Rey Rojo est¨¢ despierto, su creencia es cierta, luego la Reina Roja est¨¢ dormida, luego creer¨¢, err¨®neamente, que el Rey Rojo est¨¢ dormido. Tanto si el Rey Rojo est¨¢ despierto como si est¨¢ dormido, la Reina Roja creer¨¢ que est¨¢ dormido.

Y de los tres sospechosos, el primero (A) es inocente, puesto que dice la verdad al acusar a otro. El segundo (B), aunque miente, tambi¨¦n es inocente, pues dir¨ªa la verdad si acusara al compa?ero al que no ha acusado. Luego el culpable es el tercer sospechoso (C). Tambi¨¦n sabemos, por tanto, que A ha acusado a C (puesto que dice la verdad) y B ha acusado a A (puesto que miente); pero no sabemos a qui¨¦n ha acusado C.

Metapreguntas y bucles

El hecho de que una de nuestras lectoras m¨¢s participativas utilice el seud¨®nimo ¡°Gertrude Stein¡± me ha llevado a recordar que la genial escritora, en su lecho de muerte, le pregunt¨® a su compa?era: ¡°?Cu¨¢l es la respuesta?¡±, y al no obtener contestaci¨®n dijo: ¡°Entonces, ?cu¨¢l es la pregunta?¡±.

No era la primera en pregunt¨¢rselo. Los antiguos griegos, que se lo preguntaron casi todo, ten¨ªan que llegar a la metapregunta, y a ella llegaron por diversas v¨ªas. Se cuenta que Epim¨¦nides, el semilegendario poeta y fil¨®sofo cretense del siglo VI a. C., viaj¨® a Oriente para encontrarse con Buda y le pregunt¨®: ¡°?Cu¨¢l es la mejor pregunta que se puede hacer y cu¨¢l es la mejor respuesta que se puede dar?¡±. Y Buda contest¨®: ¡°La mejor pregunta que se puede hacer es la que acabas de hacerme, y la mejor respuesta que se puede dar es la que te estoy dando¡±. ?Tiene sentido esta frase tomada literalmente o hay que entenderla como una alusi¨®n po¨¦tica a los l¨ªmites del conocimiento?

Tambi¨¦n se atribuye a Epim¨¦nides la paradoja por excelencia: la del mentiroso, de la que existen distintas versiones, y cuya expresi¨®n m¨¢s simple es ¡°Esta frase es falsa¡±; si es verdadera, es falsa, pues eso es lo que afirma, y si es falsa, es verdadera, pues lo que dice es cierto¡­

Tanto la supuesta pregunta de Epim¨¦nides a Buda -y su respuesta- como la paradoja del mentiroso son desconcertantes ejemplos de autorreferencia. Cuando el discurso se vuelve sobre s¨ª mismo, se forman a veces extra?os bucles (seg¨²n lo define Douglas Hofstadter, un bucle extra?o es un lazo de retroalimentaci¨®n parad¨®jica a nivel cruzado), que ponen de manifiesto los l¨ªmites y las debilidades estructurales de construcciones l¨®gicas (e incluso matem¨¢ticas) que parec¨ªan s¨®lidas.

Ya hemos hablado, y m¨¢s de una vez, de la paradoja del barbero, pero no est¨¢ de m¨¢s volver a hacerlo en este contexto. Si el barbero afeita a todos los habitantes de su pueblo que no se afeitan a s¨ª mismos, ?se afeita a s¨ª mismo el barbero?

Y una apuesta ¡°imperdible¡±: escribo en un papel una afirmaci¨®n que solo puede ser verdadera o falsa, sin ambig¨¹edades, y le digo a alguien que, aunque aparentemente tenga un 50% de probabilidades, no puede adivinar si la afirmaci¨®n es cierta o no. ?Qu¨¦ he escrito en el papel?

Pero, en contra de lo que pensaba Bertrand Russell, hay extra?os bucles parad¨®jicos que no se basan en la autorreferencia. Como la paradoja de Yablo, inspirada en la del mentiroso y formulada por el fil¨®sofo Stephen Yablo en 1993. Tenemos una secuencia infinita de oraciones, cada una de las cuales afirma que todas las que le siguen son falsas. Si suponemos que una de las oraciones -la n¨²mero N- es verdadera, entonces todas las que siguen son falsas, pues eso es lo que afirma N; pero como N+1 afirma que todas las que siguen son falsas y es falsa, al menos una de las siguientes es verdadera, con lo que N es falsa¡­ ?Una variante de la paradoja del mentiroso sin autorreferencia ni circularidad?

Carlo Frabetti

Escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯