Fourier y el estudio profundo de la naturaleza

Joseph Fourier (1768-1830), o Jean Baptiste Joseph Fourier si escribimos por una vez su nombre completo, posee el apellido que aparece con mayor frecuencia en los art¨ªculos de investigaci¨®n matem¨¢tica publicados cada a?o. ?ste da nombre a un m¨¦todo (el de Fourier), a unos instrumentos (series, integrales y transformadas de Fourier) y a una disciplina (an¨¢lisis de Fourier, tambi¨¦n llamado Arm¨®nico). Suya es la frase ¡°el estudio profundo de la naturaleza es la mina m¨¢s f¨¦rtil de los descubrimientos matem¨¢ticos¡±, que es la favorita de los matem¨¢ticos aplicados y de quienes, a la manera plat¨®nica, estiman que las ¡°matem¨¢ticas se descubren en mayor medida que se crean¡±. A lo que el idealista Carl Gustav Jacobi contest¨®: ¡°Es cierto que Fourier opinaba que el principal objetivo de las matem¨¢ticas radica en su utilidad p¨²blica y en la explicaci¨®n de los fen¨®menos naturales; pero un fil¨®sofo como ¨¦l debe saber que el ¨²nico objetivo de la ciencia es el honor del esp¨ªritu humano y que, desde ese punto de vista, un problema de teor¨ªa de n¨²meros es tan valioso como otro sobre el sistema del universo¡±.

Hoy se cumplen 186 a?os de su fallecimiento, cuando una dolencia cardiaca acab¨® con su vida a los 62 a?os, un 16 de mayo en Par¨ªs. Poco antes hab¨ªa regresado a su ciudad natal tras una larga estancia en Inglaterra, al ser nombrado Secretario Permanente de la Academia Francesa de las Ciencias.

El joven Fourier consigui¨® estudiar en la prestigiosa Ecole Normale de Par¨ªs, pese a que naci¨® en el seno de una familia humilde, y despu¨¦s fue nombrado consejero cient¨ªfico de la expedici¨®n egipcia de Napole¨®n. Pero su mayor logro fue, sin duda, contribuir a comprender la naturaleza del calor: entender las leyes que gobiernan su propagaci¨®n era un problema candente a comienzos del siglo XIX, relevante tanto para la industria metal¨²rgica de entonces, como para el af¨¢n humano de conocer la temperatura en el interior de la Tierra y la manera en como ¨¦sta cambia con el tiempo y la profundidad. Fourier cre¨® un modelo que supuso un hito en el uso de las matem¨¢ticas para dominar la naturaleza y tambi¨¦n dio lugar a un m¨¦todo con otras muchas aplicaciones. En el camino, propici¨® el desarrollo de varias teor¨ªas anal¨ªticas necesarias para ponerlo a punto y explotar sus consecuencias.

El modelo de Fourier parte de dos observaciones sencillas sobre la propagaci¨®n del calor, que pod¨ªan ser cuantificadas en los laboratorios disponibles en su tiempo:

1) La conductividad: el calor fluye de las partes calientes a las fr¨ªas, y la relaci¨®n es de proporcionalidad inversa; es decir, si nos acercamos a la mitad de la distancia, recibiremos el doble de calor, siendo la constante de proporcionalidad (o conductividad t¨¦rmica) susceptible de ser medida en el laboratorio.

Fourier cre¨® un modelo que supuso un hito en el uso de las matem¨¢ticas para dominar la naturaleza y tambi¨¦n dio lugar a un m¨¦todo con otras muchas aplicaciones

2) El calor espec¨ªfico: es la cantidad de calor que necesita un gramo de una sustancia para elevar en un grado su temperatura.

Estas leyes eran conocidas por los contempor¨¢neos de Fourier, pero ¨¦l logr¨® ir mucho m¨¢s all¨¢ en el proceso de modelizaci¨®n haciendo uso del c¨¢lculo diferencial y estableciendo una ecuaci¨®n, la ahora llamada ecuaci¨®n del calor, que gobierna la evoluci¨®n de la temperatura respecto a variaciones tanto espaciales como temporales. Se trata de una ecuaci¨®n diferencial que relaciona la derivada temporal de la temperatura (es decir, su velocidad de cambio) con sus derivadas espaciales de segundo orden (que son cantidades relacionadas con las propiedades de difusi¨®n y conductividad del calor). El c¨¢lculo, inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII, fue el instrumento adecuado para darle sentido a esta ley. No hace falta conocer estas herramientas matem¨¢ticas para maravillarse de la concisi¨®n y precisi¨®n de la expresi¨®n a la que lleg¨® Fourier, que permite describir y calcular algo tan complicado como es la evoluci¨®n de la temperatura de un objeto real.

Con todo ello, Fourier escribi¨® un primer art¨ªculo sobre este asunto que someti¨® a la Academia Francesa de Ciencias en 1807, donde fue analizado por los matem¨¢ticos Lagrange y Laplace, quienes declinaron su publicaci¨®n por una supuesta falta de rigor matem¨¢tico. Aunque, al mismo tiempo, le animaron a que desarrollara sus ideas pues la propagaci¨®n del calor era susceptible de recibir el Gran Premio de la Academia, que efectivamente obtuvo en 1812 con una versi¨®n revisada de su trabajo. Sin embargo segu¨ªa siendo criticado por lo aventurado de su m¨¦todo para resolver la ecuaci¨®n y precisar estas ideas entonces visionarias de Fourier se convirti¨® en un motor del desarrollo del an¨¢lisis matem¨¢tico, que todav¨ªa perdura.

En realidad, Fourier se bas¨® en las t¨¦cnicas que otros dos matem¨¢ticos, Daniel Bernoulli y Leonhard Euler, hab¨ªan introducido en torno a otra ecuaci¨®n famosa de las matem¨¢ticas, la de las ondas y, en particular, aquella que describe la vibraci¨®n de las cuerdas de un instrumento musical. Bernoulli y Euler echaron mano de sumas de funciones trigonom¨¦tricas que muchos siglos antes hab¨ªan utilizado los matem¨¢ticos alejandrinos para analizar los movimientos celestes y cuyo estudio estaba sistematizado en el Almagesto de Claudio Ptolomeo. Que estas sumas de funciones trigonom¨¦tricas, senos y cosenos, sirvan para representar los distintos arm¨®nicos de un sonido musical no debiera sorprendernos demasiado. Que tambi¨¦n resulten ¨²tiles para entender la propagaci¨®n del calor es algo mucho menos obvio, pero eso es lo que dec¨ªa Fourier junto a la afirmaci¨®n, entonces inaudita, de que toda funci¨®n pod¨ªa ser expresada como una suma. Tuvieron de pasar muchos a?os para que, a mediados del siglo XX, se dispusieran finalmente los instrumentos necesarios para darle la raz¨®n a Fourier, con todas las salvedades que son precisas. Pero sin su bendita perseverancia en el programa, ahora no se dispondr¨ªa de las matem¨¢ticas necesarias para entender el funcionamiento de un aparato como el TAC, o los algoritmos que permiten transmitir eficientemente la informaci¨®n en los tel¨¦fonos m¨®viles.

Antonio C¨®rdoba es director del Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas y Catedr¨¢tico de An¨¢lisis de la Universidad Aut¨®noma de Madrid