Smullyan, Cantor y el infinito

Aunque el hotel de Hilbert est¨¦ completo, para conseguir una habitaci¨®n libre bastar¨¢ con que cada hu¨¦sped se traslade a la habitaci¨®n contigua: el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4, y as¨ª sucesiva e indefinidamente; de este modo, la habitaci¨®n 1 quedar¨¢ libre.

Para que queden libres infinitas habitaciones, cada hu¨¦sped se puede trasladar a la habitaci¨®n cuyo n¨²mero es el doble del de la que ocupa: el de la 1 se traslada a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6¡­ De este modo quedar¨¢n libres las infinitas habitaciones de n¨²mero impar.

Para alojar en un solo hotel a los infinitos hu¨¦spedes de los infinitos hoteles de Hilbert, asignamos a cada hu¨¦sped un par de n¨²meros, el primero corresponde al hotel en el que se aloja y el segundo es su n¨²mero de habitaci¨®n; as¨ª, al hu¨¦sped que ocupa la habitaci¨®n 1 del primer hotel le asignamos el par 1-1, al que ocupa la habitaci¨®n 2 del primer hotel el 1-2, al de la habitaci¨®n 1 del segundo hotel el 2-1¡­ Ahora el problema es an¨¢logo al de numerar todas las parejas de n¨²meros naturales posibles, que vimos la semana pasada; y si podemos numerar todas las parejas, tambi¨¦n podemos asignarles una habitaci¨®n a cada una, puesto que en el hotel de Hilbert que queda abierto hay infinitas habitaciones que se corresponden con los infinitos n¨²meros naturales.

Sat¨¢n, Cantor y el infinito

La mejor -y la m¨¢s divertida- introducci¨®n al tema del infinito y sus inquietantes paradojas que conozco es el libro de Raymond Smullyan Sat¨¢n, Cantor y el infinito. Veamos algunos de los problemas que, al respecto, Smullyan propone a los lectores; pero antes dejemos clara la definici¨®n de infinito que se maneja en matem¨¢ticas:

Decimos que un conjunto es finito si existe un n¨²mero natural N tal que el conjunto tiene exactamente N elementos (lo que significa que los elementos del conjunto pueden ponerse en correspondencia 1 a 1 con los n¨²meros enteros positivos de 1 a N). Si no existe un tal n¨²mero N, el conjunto es infinito.

Obs¨¦rvese que se trata de una definici¨®n por exclusi¨®n: conjunto infinito es el que no es finito.

Y ahora que contamos con una definici¨®n precisa, intentemos articular una demostraci¨®n rigurosa de lo obvio, cosa que a menudo es m¨¢s dif¨ªcil de lo que parece: demostrar que si a un conjunto infinito le quitamos un elemento, sigue siendo infinito.

Y retomando las enumeraciones de la semana pasada: ?es numerable el conjunto de todos los conjuntos finitos de n¨²meros naturales?

?Y el conjunto de todos los conjuntos de n¨²meros naturales, tanto finitos como infinitos?

En cierto mundo con infinitos habitantes, todo conjunto de habitantes constituye un club. Al empadronador de ese mundo le gustar¨ªa dar a cada club el nombre de un habitante, de manera que no haya dos clubes con el mismo nombre y que cada habitante tenga un club que lleva su nombre. ?Es ello posible?

Y para terminar, ?por qu¨¦ este art¨ªculo se titula Smullyan, Cantor y el infinito si en ¨¦l no se habla de Cantor en absoluto?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos ¡®Maldita f¨ªsica¡¯, ¡®Malditas matem¨¢ticas¡¯ o ¡®El gran juego¡¯. Fue guionista de ¡®La bola de cristal¡¯