?Existe alg¨²n n¨²mero que no tenga nombre?

Si lees la frase ¡°el n¨²mero de d¨ªas de julio¡±, ?qu¨¦ te viene a la cabeza? Posiblemente el n¨²mero 31. ?Y si te digo ¡°el n¨²mero de segundos que tiene un minuto¡±? Seguro que pensar¨¢s en el n¨²mero 60. ?Y si te pido que me describas al n¨²mero 12? Pues podr¨ªas usar la frase ¡°el n¨²mero de meses del a?o¡±, o ¡°las horas que aparecen en un reloj anal¨®gico¡±, o quiz¨¢s ¡°la cantidad de huevos que hay en una docena¡±. Hasta podr¨ªas hacerlo de forma m¨¢s matem¨¢tica, por ejemplo con la expresi¨®n ¡°el resultado de multiplicar 3 por 4¡±.

Podemos encontrar frases para describir n¨²meros naturales, pero tambi¨¦n para negativos (¡°el cero absoluto¡± podr¨ªa valer para describir al n¨²mero -273), fraccionarios (¡°la probabilidad de sacar un n¨²mero par al tirar un dado¡± describir¨ªa al n¨²mero 1/2) y hasta irracionales (¡°el ¨¢rea de un c¨ªrculo de radio 1¡± describe al n¨²mero Pi).

Todas estas frases pueden servirnos para dar nombre a ciertos n¨²meros, ya que cada una describe a un cierto n¨²mero sin ning¨²n g¨¦nero de duda (con la de ¡°el resultado de multiplicar 3 por 4¡± podr¨ªamos debatir, pero nos entendemos). Y la cosa va de eso: de nombrar n¨²meros.

Si convenimos que una frase cualquiera es un ¡°nombre¡± para un cierto n¨²mero si describe a dicho n¨²mero sin ambig¨¹edad, ser¨ªa interesante preguntarse si todos los n¨²meros tienen ¡°nombre¡±. Y con "todos los n¨²meros" nos referimos a todos los n¨²meros reales, es decir, todos los naturales, los enteros negativos, el cero, los racionales y los irracionales (que son los que no pueden escribirse mediante una fracci¨®n con numerador y denominador enteros, como el n¨²mero Pi).

?Piensas que podr¨¢s? ?O, por el contrario, crees que no se puede nombrar a todos los n¨²meros reales? Si est¨¢s en este segundo grupo, dime un n¨²mero que no se pueda nombrar, que no pueda describirse sin ambig¨¹edad con una frase... ?Exacto! En el momento en el que me comunicas dicho n¨²mero ya lo est¨¢s describiendo sin ambig¨¹edad mediante una frase, por lo que ya le has puesto nombre. Vamos, que no vas a ser capaz de encontrar ning¨²n n¨²mero sin nombre¡­

¡­Pero esto no significa que no existan. ?O s¨ª? Vamos a desvelar el misterio utilizando matem¨¢ticas que, aunque no son b¨¢sicas, no ser¨¢n muy complicadas de entender.

Una correspondencia entre dos conjuntos es una forma de asignar a cada elemento de uno de ellos un elemento del otro conjunto (nos quedaremos con las correspondencias en las que ning¨²n elemento del primer conjunto se queda sin asignaci¨®n). Esa correspondencia ser¨¢ biun¨ªvoca si a cada elemento de uno de los conjuntos le corresponde uno y s¨®lo uno de los elementos del otro. Por ejemplo, asociar el 3 al pulgar, el 1 al ¨ªndice, el 2 al coraz¨®n, el 5 al anular y el 4 al me?ique es una correspondencia biun¨ªvoca entre los dedos de una mano y el conjunto de n¨²meros {1,2,3,4,5}.

Por otro lado, un conjunto (infinito) de elementos cualesquiera es numerable si puede ponerse como correspondencia biun¨ªvoca con el conjunto de los n¨²meros naturales, es decir, con el conjunto {1,2,3,4,¡­} (no incluimos al cero, aunque si este n¨²mero es o no un n¨²mero natural suele generar interesantes debates).

Vayamos ahora al tema que nos ocupa. Podemos nombrar a cada n¨²mero de muchas formas, pero cada frase que usemos para ese nombre tendr¨¢, seguro, un n¨²mero finito de letras (no podemos, por razones evidentes, utilizar frases con infinitas letras). Si tomamos todas las frases posibles y contamos cu¨¢ntas letras (o s¨ªmbolos, eso no es importante) tiene cada una, podemos formar una lista con esos n¨²meros. Por ejemplo, supongamos que la primera frase que tomamos tiene 14 letras, la siguiente tiene 8, la siguiente tiene 46 y la siguiente de nuevo 8. Entonces nuestra lista comenzar¨ªa con {14,8,46,8} y, claro, seguir¨ªa con los n¨²meros de letras de las siguientes frases. Entonces podemos asociar el 14 con el 1, el 8 con el 2, el 46 con el 3, el siguiente 8 con el 4, y continuar as¨ª con el resto de la lista. Esto es, asociamos cada n¨²mero resultante de contar la cantidad de letras/s¨ªmbolos de la frase con la posici¨®n que ocupa en la lista.

?Qu¨¦ conseguimos con esto? Pues, como muchos habr¨¦is visto ya, una correspondencia biun¨ªvoca entre todas las posibles frases que podemos usar para nombrar n¨²meros y el conjunto de los n¨²meros naturales. Es decir, el conjunto de los nombres de n¨²meros es numerable.

Por otro lado, es bien sabido que el conjunto de los n¨²meros reales no es numerable, hecho que prob¨® Cantor a finales del siglo XIX (pod¨¦is ver demostraciones de este resultado aqu¨ª y tambi¨¦n aqu¨ª).

El hecho de que el conjunto de los n¨²meros reales sea no numerable significa, en relaci¨®n con lo que nos ocupa, que al intentar poner dicho conjunto en correspondencia con los n¨²meros naturales tenemos que hay n¨²meros reales que no corresponden con ning¨²n natural. Esto es, hay esencialmente m¨¢s n¨²meros reales que naturales. En consecuencia, hay esencialmente m¨¢s n¨²meros reales que nombres posibles podemos usar, por lo que hay n¨²mero reales para los cuales no podemos encontrar un nombre.

Por tanto, la respuesta a la pregunta que titula este art¨ªculo es S?, existen n¨²meros sin nombre (de hecho hay un conjunto infinito no numerable de ellos)¡­aunque, parad¨®jicamente, no podremos encontrar ning¨²n ejemplo de este tipo de n¨²meros, ya que, como coment¨¢bamos antes, en el momento en el que lo describamos ya le estaremos dando nombre.

Es lo que tienen las demostraciones de existencia: nos dicen que algo est¨¢ ah¨ª, pero no nos ayudan a encontrarlo. Y, en casos como ¨¦ste, hasta nos aseguran que no lo podremos encontrar.