Y el premio al camino m¨¢s corto es para...

¡­pues depende.

?C¨®mo que ¡°depende¡±? El camino m¨¢s corto ha sido la l¨ªnea recta de toda la vida, ?no? ?Entonces?

Pues eso¡­que depende. M¨¢s concretamente, depende de qu¨¦ entendamos por ¡°m¨¢s corto¡±, que no tiene por qu¨¦ significar siempre lo mismo.

Vamos a poner un ejemplo. Imaginemos que queremos ir desde el trabajo a nuestra casa en bici (nos preocupamos por el medio ambiente) y queremos llegar lo antes posible (estamos deseando llegar a nuestro amado sof¨¢ despu¨¦s de una larga jornada laboral). Analizando los posibles caminos que podemos seguir, nos quedamos con estas dos opciones.

Suponiendo que no hay desnivel en ninguno de ellos y que ambos est¨¢n perfectamente asfaltados, lo m¨¢s probable es que eligi¨¦ramos el camino recto.

Ahora imaginad que ese camino recto es de verdad un ¡°camino¡±: es de tierra, tiene piedras y baches a montones¡­Vamos, que es complicad¨ªsimo manejarse con la bicicleta a trav¨¦s de ¨¦l. Sin embargo, el otro contin¨²a estando perfectamente asfaltado, comod¨ªsimo para nuestro viaje en dos ruedas. ?Seguir¨ªamos eligiendo el recto? Posiblemente no, ya que, como hemos dicho ya, queremos llegar cuando antes a casa.

Con esto quiero dejar constancia de que no siempre no interesar¨¢ el camino de menos longitud, porque igual no siempre ese camino es el m¨¢s r¨¢pido. Y aqu¨ª est¨¢ la clave de la interpretaci¨®n de ¡°m¨¢s corto¡± de la que habl¨¢bamos al principio: ¡°m¨¢s corto¡± puede significar ¡°menor longitud¡± o ¡°menor tiempo¡±, seg¨²n el caso.

Seguro que m¨¢s de un lector est¨¢ pensando que hemos hecho algo de trampa, en el sentido de que hemos cambiado las condiciones de uno de los caminos. S¨ª, eso de dar como opci¨®n un camino pr¨¢cticamente intransitable podr¨ªa considerarse, en parte, como una trampa. Por eso, vamos a intentar igualar las condiciones con el siguiente problema:

Imaginemos que queremos mover un objeto desde el punto A al punto B, colocados seg¨²n esta imagen.

Queremos que el objeto recorra una cierta curva que una A con B. Suponemos que soltamos dicho objeto desde A para que se desplace por la curva (es decir, no lo empujamos ni nada parecido) impulsado solamente por la acci¨®n de la gravedad. La pregunta es la siguiente: ?cu¨¢l ser¨ªa la curva con la que el objeto tardar¨ªa menos en llegar? Esto es, ?cu¨¢l es la curva m¨¢s r¨¢pida?

Seguro que m¨¢s de uno se ha dicho algo como esto: ¡°?Cu¨¢l va a ser? La l¨ªnea recta¡± (s¨ª, una recta es una curva; en concreto, es una curva con curvatura cero, una curva que no se curva). Y es normal, yo tambi¨¦n creo que ¨¦sa ser¨ªa la respuesta m¨¢s habitual si planteamos esta situaci¨®n a alguien. Pero no, lo curioso del asunto es que la l¨ªnea recta no es la curva m¨¢s r¨¢pida en este caso.

Este problema de encontrar la curva que desciende m¨¢s r¨¢pido de un punto a otro en un plano vertical, caracter¨ªstica conocida como ¡°braquistocron¨ªa¡±, fue planteado por Johann Bernoulli en 1696. Y la soluci¨®n al mismo result¨® ser una curva denominada cicloide.

La cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia al girar por una recta (sin deslizarse). Por si no os quedado totalmente clara la definici¨®n, os dejo este gif bastante esclarecedor.

Esta curva hab¨ªa sido estudiada anteriormente por muchos matem¨¢ticos, como Galileo, Mersenne o Roberval. Gracias a estos estudios se descubrieron algunas caracter¨ªsticas interesantes de la misma, como la longitud de un arco de cicloide (que es cuatro veces el di¨¢metro de la circunferencia que la genera) o el ¨¢rea encerrada tambi¨¦n por un arco de cicloide (que resulta ser tres veces el ¨¢rea de dicha circunferencia), pero fue a partir del planteamiento del problema por parte de Johann Bernoulli cuando se encontr¨® esta interesante propiedad de la braquistocron¨ªa de la cicloide.

Por cierto, la historia de la resoluci¨®n del problema en s¨ª tambi¨¦n tiene su inter¨¦s. Adem¨¢s del mismo Johann, fueron cinco los matem¨¢ticos que enviaron sus soluciones al problema: Jakob Bernoulli (hermano de Johann), Tschirnhaus, Leibniz, L¡¯Hopital y Newton. El d¨ªa que ¨¦ste ¨²ltimo tuvo conocimiento del problema, se qued¨® despierto toda la noche para resolverlo y poder enviar la soluci¨®n al d¨ªa siguiente. Vamos, que tard¨® menos de un d¨ªa en encontrar la respuesta; Johann Bernoulli tard¨® dos semanas¡­

Por tanto, est¨¢ demostrado matem¨¢ticamente que la cicloide gana a cualquier otra curva (recta, par¨¢bola o cualquier otra) en rapidez de descenso, pero seguro que mucha gente todav¨ªa puede mostrarse recelosa. Para hacer desaparecer ese recelo, qu¨¦ mejor que un v¨ªdeo mostrando su mayor rapidez frente a un segmento de recta. En ¨¦l podemos ver c¨®mo se sueltan a la vez dos bolitas para que rueden por un segmento de recta y por un arco de cicloide, y despu¨¦s se hace lo mismo con dos cochecitos de juguete (los lanzamientos comienzan sobre el segundo 48):

Pero la cosa no queda ah¨ª. La cicloide tiene otra curios¨ªsima propiedad, conocida desde 1659 gracias a Christiaan Huygens. La cuesti¨®n es la siguiente:

Supongamos que tenemos dos puntos A y B, situados en la horizontal, y representamos un arco de cicloide de A a B por debajo de dicha horizontal (es decir, el que podr¨ªamos llamar v¨¦rtice de la cicloide es el punto m¨¢s bajo de la misma). En esta situaci¨®n, si soltamos un objeto para que se desplace por dicho arco de cicloide ¨²nicamente bajo el efecto de la gravedad, se tiene que dicho objeto llegar¨¢ el punto m¨¢s bajo siempre en el mismo tiempo, independientemente del punto inicial en el que lo coloquemos.

Es decir, da igual el punto desde el que soltemos el objeto, siempre tardar¨¢ lo mismo en llegar al punto m¨¢s bajo. Esta propiedad se conoce con el nombre de tautocron¨ªa.

Seguro que ahora tambi¨¦n hay personas que no lo ven muy claro, que no llegan a creerse que esta propiedad pueda ser cierta. Pues s¨ª amigos, para la tautocron¨ªa tambi¨¦n tenemos v¨ªdeo (la primera bola sit¨²a el punto m¨¢s bajo; el lanzamiento pod¨¦is verlo a partir del segundo 40):

La cicloide tiene m¨¢s propiedades y caracter¨ªsticas interesantes, pero nosotros nos vamos a quedar aqu¨ª. La idea en este caso era encender la mecha de la curiosidad. Espero haberlo conseguido.