Lo que las matem¨¢ticas nos ense?an de las epidemias

Las epidemias han sido recurrentes a lo largo de la historia de la humanidad, amenazando la supervivencia de naciones enteras. Podemos remontarnos a las plagas del Antiguo Egipto a mitad de la Edad de Bronce, a las de la Atenas de Pericles, a la peste negra en Europa que acab¨® con 25 millones de personas, las epidemias en Am¨¦rica Central en el siglo XVI con 13 millones de muertos, o la gripe espa?ola de 1918 que acab¨® con 40 millones de vidas en todo el mundo. En tiempos recientes hemos asistido con temor a la emergencia del sida o el ¨¦bola, mientras que regiones enteras del planeta sufren de manera habitual enfermedades como la malaria, el dengue y ahora el zika.

Fundamentalmente, las epidemias son amenazas que siempre hemos querido combatir y, a ser posible, prevenir.

La peste ha dado lugar a visiones literarias como la de Daniel Defoe o la de Albert Camus, en las que la solidaridad se da la mano con el ego¨ªsmo y el terror, y recordamos tambi¨¦n al joven Isaac Newton refugiado en el campo para librase de un rebrote de peste en Londres y dando a la luz a su gran obra cient¨ªfica. Pero fundamentalmente, las epidemias son amenazas que siempre hemos querido combatir y, a ser posible, prevenir.

En este aspecto, las matem¨¢ticas han sido y son de enorme ayuda. En 1766, en su art¨ªculo Essai d'une nouvelle analyze de la mortalit¨¦ caus¨¦e par la petite v¨¦role, Daniel Bernoulli (uno m¨¢s de la saga Bernouilli) present¨® un primer modelo epidemiol¨®gico, que fue despu¨¦s mejorado por Lambert y Laplace. Los modelos determin¨ªsticos modernos (que no tienen en cuenta la estocasticidad del fen¨®meno), nacen con los trabajos de Ross, Kermack y McKendrick, autores de los modelos SIR y sus generalizaciones. En estos modelos, se toman las condiciones iniciales de una poblaci¨®n, teniendo en cuenta los individuos que son infectados (I), los que son susceptibles de hacerlo (S) y los inmunes (R), y se incluyen en las ecuaciones, generalmente diferenciales, y su evoluci¨®n sirve para predecir el curso de la enfermedad, su agresividad o potencia de contagio, y su posible alcance o probabilidad de extinci¨®n. En principio, esta capacidad predictiva nos permitir¨ªa actuar en el momento adecuado y contra los elementos de la poblaci¨®n precisos para frenar, o al menos disminuir, la virulencia de una epidemia. Las ecuaciones de Lotka-Volterra (las mismas que describen la relaci¨®n entre predadores y presas en un ecosistema) juegan tambi¨¦n un papel en estas descripciones.

La capacidad predictiva nos permitir¨ªa actuar en el momento adecuado y contra los elementos de la poblaci¨®n precisos para frenar, o al menos disminuir, la virulencia de una epidemia

Los modelos deterministas son muy efectivos prediciendo la evoluci¨®n de una epidemia que afecte a poblaciones muy grandes. Sin embargo, en poblaciones peque?as el curso de una enfermedad puede fluctuar de manera muy significativa y es imprescindible considerar otras alternativas. Se sustituyen as¨ª las ecuaciones diferenciales por variables aleatorias, modelos estoc¨¢sticos y estad¨ªstica; empleando teor¨ªa de sistemas din¨¢micos y modelos basados en aprendizaje autom¨¢tico (machine learning), o cadenas de Markov, para realizar an¨¢lisis predictivos en conjuntos de datos. Muchos de estos modelos han sido influenciados por el trabajo cl¨¢sico de Thomas Robert Malthus sobre el crecimiento exponencial de la poblaci¨®n contenido en su obra An Essay on the Principle of Population en 1798, que fue refinado m¨¢s tarde por la funci¨®n log¨ªstica de Pierre Fran?ois Verhulst en 1838, al incluir adem¨¢s la tasa de recursos disponibles.

A grandes rasgos, esta es la artiller¨ªa que las matem¨¢ticas ponen actualmente a disposici¨®n de los cient¨ªficos para evitar, y si no es posible combatir las epidemias, instrumentos que el m¨¦dico ha a?adido ya a su malet¨ªn.

Manuel de Le¨®n (Instituto de Ciencias Matem¨¢ticas) y Luis M. Mart¨ªnez (Instituto de Neurociencias) son investigadores del CSIC. Ambos son tambi¨¦n codirectores de los CorBI International Courses, un programa de formaci¨®n de excelencia en biomedicina. En su primera edici¨®n reuni¨® a j¨®venes investigadores y cient¨ªficos de primera l¨ªnea internacional en A Coru?a, del 26 de julio al 5 de agosto de 2016.