Pit¨¢goras y la demostraci¨®n de los 200 TB

Creo que a estas alturas no es necesario presentar el famos¨ªsimo teorema de Pit¨¢goras.Todos lo conocemos, todos lo hemos estudiado en nuestra ¨¦poca de colegio y podr¨ªa asegurar que la gran mayor¨ªa nos acordamos de ¨¦l. De todas formas, me vais a permitir que lo recuerde:

Teorema de Pit¨¢goras: En un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo cuyos catetos miden a y b y cuya hipotenusa mide c, se cumple que a²+b²=c².

Una lista de tres n¨²meros enteros positivos (a, b, c) que cumplen el teorema de Pit¨¢goras se suele llamar terna pitag¨®rica.

Actualmente, se conocen multitud de demostraciones de este resultado, y las hay de diversos tipos: geom¨¦tricas, algebraicas, que usan el c¨¢lculo... Teniendo en cuenta que con una demostraci¨®n nos servir¨ªa para saber que el teorema es cierto, que se hayan desarrollado tantas (se conocen unas 400) habla muy bien del inter¨¦s que ha suscitado el teorema de Pit¨¢goras entre los matem¨¢ticos de todas las ¨¦pocas (en esta web pod¨¦is ver un buen pu?ado de demostraciones). ??Hasta un presidente de los Estados Unidos, James Garfield, encontr¨® una!!

Se suele asignar a Pit¨¢goras el honor de ser quien descubri¨® este teorema, hace unos 2500 a?os, aunque hay cierta controversia al respecto. Algunos historiadores de las matem¨¢ticas sostienen que ya lo conoc¨ªan en Babilonia m¨¢s de 1000 a?os antes que Pit¨¢goras, tambi¨¦n hay alguna prueba de su conocimiento en Mesopotamia m¨¢s o menos por aquella ¨¦poca y otros aseguran que en India o en China se descubri¨® de manera independiente m¨¢s o menos en la ¨¦poca del propio Pit¨¢goras.

Pero no nos vamos a extender en la historia de este teorema, sino que vamos a volver a las ternas pitag¨®ricas para hablar de un problema relacionado con ellas cuyo planteamiento es relativamente reciente y cuya soluci¨®n se ha encontrado hace bien poco.

En la d¨¦cada de los 80 del pasado siglo XX, el matem¨¢tico estadounidense Ronald Graham planteo el siguiente problema:

?Se pueden colorear los n¨²meros enteros positivos con dos colores, rojo y azul, de manera que no haya ninguna terna pitag¨®rica (a, b, c) cuyos tres elementos tengan el mismo color?

Es decir, Graham preguntaba si se pod¨ªan separar los enteros positivos en dos conjuntos disjuntos (sin elementos en com¨²n) de forma que ninguno de los dos conjuntos contuviera una terna pitag¨®rica.

El problema, que se conoce como problema de las ternas pitag¨®ricas booleanas, ha permanecido sin soluci¨®n hasta este mismo a?o 2016. En mayo de este a?o, los matem¨¢ticos Marijn Heule (Universidad de Texas en Austin), Oliver Kullmann (Universidad de Swansea) y Victor Marek (Universidad de Kentucky en Lexington) han demostrado que la respuesta a dicho problema es NO. M¨¢s concretamente, lo que han demostrado es que hay muchas maneras de colorear los enteros positivos hasta 7824 con las condiciones indicadas antes, pero que al a?adir el 7825 no existe ninguna forma de hacerlo.

Pero, posiblemente, lo m¨¢s llamativo del caso es la importancia que han tenido los ordenadores en esta prueba. Hay 2⁷⁸²⁵ formas de colorear los enteros positivos hasta 7825, n¨²mero que es del orden de 10²³⁰⁰. Teniendo en cuenta que se estima que el n¨²mero de part¨ªculas del universo es inferior a 10¹⁰⁰, creo que es f¨¢cil adivinar que comprobar una a una todas las posibles coloraciones es del todo imposible para el ser humano¡­

¡­e incluso para un ordenador. Un n¨²mero como ¨¦se, un 1 seguido de 2300 ceros, es abismal. Por ello, nuestros protagonistas tuvieron que usar matem¨¢ticas para reducir dr¨¢sticamente los casos a estudiar, dej¨¢ndolos finalmente en una cantidad del orden del bill¨®n, 10¹². S¨ª, una cantidad que sigue fuera de nuestro alcance, pero que para un ordenador s¨ª podr¨ªa ser alcanzable.

Pero no para un ordenador cualquiera, sino para un superordenador. Ellos usaron Stampede, un superordenador de la Universidad de Texas, y tuvieron trabajando a sus 800 procesadores durante dos d¨ªas, generando dicho trabajo un archivo de 200 Terabytes y, por tanto, convirtiendo a esta demostraci¨®n en una de las m¨¢s largas (si no la que m¨¢s) de la historia de las matem¨¢ticas. Despu¨¦s, utilizando otro programa consiguieron comprobar que la soluci¨®n era correcta. En el preprint que subieron a arXiv y en esta web de Marijn Heule ten¨¦is m¨¢s detalles sobre el desarrollo de la demostraci¨®n.

Y por si alguien se pregunta qu¨¦ ocurrir¨ªa con m¨¢s colores, se estima que la situaci¨®n ser¨ªa parecida. Por ejemplo, se cree que si se utilizan tres colores, tambi¨¦n se encontrar¨ªa un n¨²mero, tipo el 7825 del caso anterior, para el cual no se podr¨ªa colorear el conjunto de enteros positivos resultante con esos tres colores de manera que no hubiera ternas pitag¨®ricas monocrom¨¢ticas. En general, se piensa que para cualquier n¨²mero finito de colores pasar¨ªa lo mismo, pero no est¨¢ demostrado. Y dudo mucho que se pueda demostrar a corto plazo, aun con la ayuda de superordenadores, ya que si para dos colores se ha generado tal cantidad de informaci¨®n, es razonable pensar que para m¨¢s colores el volumen de datos, y por tanto el coste en recursos y tiempo, ser¨ªa much¨ªsimo mayor, posiblemente inasumible actualmente.

Como no pod¨ªa ser de otra forma, esta manera de resolver el problema ha generado cierta controversia en los c¨ªrculos matem¨¢ticos. Dejando aparte que el trabajo de Stampede no dice nada acerca de por qu¨¦ la cosa cambia al llegar al 7825, de qu¨¦ caracter¨ªstica especial puede tener dicho n¨²mero para que ocurra esto, lo controvertido es el propio hecho de aceptar como demostraci¨®n ¡°matem¨¢tica¡± el trabajo realizado por este supercomputador. ?Es una demostraci¨®n del resultado? S¨ª. ?Esto son matem¨¢ticas? Pues¡­depende de a qui¨¦n le preguntes.

De todas formas, no es ni mucho menos el primer caso de resultado matem¨¢tico en cuya resoluci¨®n el ordenador es parte esencial. Uno de los primeros casos fue la demostraci¨®n de Thomas Hales de la conjetura de Kepler en 1998, y otro de los m¨¢s conocidos es la demostraci¨®n del teorema de los cuatros colores por parte de Kenneth Appel y Wolfgang Haken a mediados de los 70.

Estos dos casos son muy famosos, por ser problemas cl¨¢sicos que hab¨ªan permanecido sin demostraci¨®n much¨ªsimo tiempo, pero ni son ni ser¨¢n los ¨²nicos que utilizar¨¢n el ordenador como parte fundamental de su resoluci¨®n. Y, por tanto, el ¡°enfrentamiento¡± entre los partidarios y detractores de este tipo de pruebas continuar¨¢ dentro de la comunidad matem¨¢tica.

?Qu¨¦ pens¨¢is vosotros sobre este tipo de demostraciones?