Lo m¨¢s irracional de los racionales

A estas alturas ya estamos acostumbrados a escuchar frases tipo la siguiente:

Esto no es como en matem¨¢ticas, donde el orden de los factores no altera el producto

La cuesti¨®n es que esta afirmaci¨®n no es del todo precisa, ya que eso de que el orden de los factores no altera el producto no pasa siempre en matem¨¢ticas. Cierto es que en la aritm¨¦tica que utilizamos habitualmente, la de los n¨²meros reales, s¨ª es verdad que el producto de dos n¨²meros no se altera si los cambio de orden (es decir, que la multiplicaci¨®n de n¨²meros reales de toda la vida cumple la propiedad conmutativa), pero eso no significa que siempre en matem¨¢ticas eso sea as¨ª. Los que hayan cursado matem¨¢ticas a nivel de bachillerato seguro que recuerdan un ejemplo muy claro de esto: el producto de matrices no es conmutativo. Esto es, si multiplico dos matrices en un cierto orden, digamos A ¡¤ B, y luego las multiplico en el orden contrario, B ¡¤ A, en general no obtendr¨¦ el mismo resultado (de hecho, que una de las multiplicaciones se pueda hacer no nos garantiza que se pueda hacer la otra).

Ahora, si hablamos de sumas en vez de hablar de productos la cosa cambia en las matrices. Ahora s¨ª que da igual en qu¨¦ orden sumemos dos matrices (que se puedan sumar, se entiende), en ambos casos obtendremos el mismo resultado. De hecho sabemos m¨¢s sobre ese resultado, en particular que ser¨¢ una matriz del mismo tipo que las dos que hemos sumado.

Lo mismo pasa con muchos de los conjuntos de n¨²meros que conocemos. Por ejemplo, si sumamos dos n¨²meros naturales siempre obtenemos como resultado un n¨²mero natural, si sumamos dos n¨²meros enteros conseguiremos un n¨²mero entero y al sumar dos n¨²meros racionales obtendremos, con total seguridad, un n¨²mero racional como resultado de dicha operaci¨®n. Esto no pasa con todas las operaciones, ya que, por ejemplo, al restar dos n¨²meros naturales podr¨ªamos obtener un n¨²mero que no es natural. Y tampoco ocurre con la suma en todos los conjuntos num¨¦ricos m¨¢s o menos conocidos, ya que al sumar dos n¨²meros irracionales no tenemos garantizado que vayamos a obtener un n¨²mero que tambi¨¦n sea irracional.

Cuando esto ocurre con un conjunto y una operaci¨®n, en matem¨¢ticas decimos que el conjunto es cerrado para dicha operaci¨®n (por lo de que si operamos no nos salimos del conjunto). En concreto, tenemos que los n¨²meros racionales (el conjunto de todas las fracciones con numerador y denominador enteros) es un conjunto cerrado para la suma, como hemos comentado antes.

Con esto ya nos metemos m¨¢s a fondo en la cuesti¨®n que vamos a tratar en este art¨ªculo: si sumo dos racionales obtengo siempre un racional. Pero esto no solamente ocurre si sumo dos, sino que tambi¨¦n pasa si sumo m¨¢s. Es decir: si sumo una cantidad cualquiera de n¨²meros racionales, el resultado tambi¨¦n es un n¨²mero racional¡­

¡­siempre que la cantidad de n¨²meros racionales que estemos sumando sea finita. Si sumamos 5 n¨²meros racionales obtendremos un racional, y lo mismo ocurrir¨¢ si sumamos 20, si sumamos 100 o si sumamos 500000 millones de n¨²meros racionales. Pero, ?qu¨¦ ocurre si sumamos infinitos n¨²meros racionales? Pues¡­que hay que tener m¨¢s cuidado a la hora de analizar c¨®mo ser¨¢ el resultado.

Si os par¨¢is a pensar c¨®mo podr¨ªa ser el resultado de sumar infinitos n¨²meros racionales, es posible que la primera idea que os venga a la cabeza es que dicho resultado ser¨ªa infinito. Pero hay que tener en cuenta que tenemos racionales positivos y negativos. ?Segu¨ªs pensando lo mismo?

Bien, vamos a pasar de los negativos y a ce?irnos exclusivamente a los racionales positivos. Ahora s¨ª, ?verdad? Ahora s¨ª que siempre obtendremos infinito como resultado¡­

¡­pues no, hay casos en los que al sumar infinitos n¨²meros racionales nos queda de resultado un n¨²mero (y no infinito). Por ejemplo, si sumamos 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, (esto es, los inversos de las potencias de 2), el resultado es 1:

Esta suma infinita es un ejemplo de lo que en matem¨¢ticas se denomina serie num¨¦rica. En este caso se trata de una suma de infinitos n¨²meros racionales cuyo resultado es tambi¨¦n un n¨²mero racional, algo que podr¨ªa esperarse dado que, como comentamos antes, los n¨²meros racionales son un conjunto cerrado para la suma (s¨ª, es verdad, deber¨ªa ser m¨¢s preciso con las series y sus sumas, pero he preferido no meterme demasiado en los detalles t¨¦cnicos).

Por supuesto que hay casos en los que el ¡°resultado¡± es infinito, como ¨¦ste:

pero, como hemos visto, no siempre es as¨ª.

A la vista de lo comentado ya, y apoyados en el primero de los resultados que os he ense?ado, no ser¨ªa descabellado pensar que si sumo infinitos racionales obtendr¨¦ siempre como resultado un n¨²mero racional (excepto en los casos en los que nos queda infinito), ?verdad?

Pues lo ¡°sorprendente¡± es que no siempre es as¨ª, y hay muchos ejemplos que lo corroboran. Uno de los m¨¢s conocidos, sin duda, es el famos¨ªsimo problema de Basilea, que dice lo siguiente:

La suma de los inversos de los cuadrados de los n¨²meros naturales es un n¨²mero irracional. Concretamente, el cuadrado de Pi dividido entre 6.

Es decir, que si yo sumo los n¨²meros racionales 1/1,1/4,1/9,1/16,1/25, etc, el resultado no es racional, sino irracional. Y, adem¨¢s, sabemos exactamente cu¨¢l es:

Y, como dec¨ªa, no es el ¨²nico ejemplo (por cierto, aqu¨ª ten¨¦is una demostraci¨®n de ese resultado). Con s¨®lo n¨²meros positivos tenemos m¨¢s ejemplos del estilo al anterior, como ¨¦ste:

Y tambi¨¦n la suma que nos da como resultado el n¨²mero e (que, como sabemos, es irracional):

Y si metemos tambi¨¦n n¨²meros negativos, tenemos otros ejemplos bastante interesantes, como la denominada serie de Leibniz:

Curioso, ?verdad? Por todo ello he titulado as¨ª este art¨ªculo: lo m¨¢s irracional de los racionales es que sumando racionales podemos obtener un resultado irracional.

Algo m¨¢s complicado ser¨ªa responder a la pregunta de por qu¨¦ ocurre esta ¡°rareza¡±. Bien, pues la cuesti¨®n es que ¡°sumar¡± infinitos t¨¦rminos en el sentido de las series num¨¦ricas no es realmente ¡°sumar¡±. No estamos realizando una suma habitual, sino que en realidad estamos calculando lo que en matem¨¢ticas se denomina l¨ªmite de una sucesi¨®n (para los iniciados en el tema de las series, estamos calculando el l¨ªmite de la sucesi¨®n de sumas parciales de la serie), y el l¨ªmite de una sucesi¨®n no tiene por qu¨¦ tener las mismas caracter¨ªsticas que los n¨²meros que forman dicha sucesi¨®n.

Pero todo esto es, posiblemente, demasiado avanzado para un art¨ªculo en el que os quer¨ªa mostrar algo curioso que ocurre cuando introducimos el infinito en un lugar habitual para nosotros: las sumas de n¨²meros racionales. Espero que os haya resultado interesante y que os sirva como ejemplo de que cuando aparece el infinito, en muchas ocasiones ocurren cosas ¡°extra?as¡±¡­