La paradoja de Olbers

Contrariamente a lo que nos dice la intuici¨®n, si en una hoja de papel cuadriculado ideal trazamos una recta al azar a partir de una de las intersecciones de la cuadr¨ªcula, la probabilidad de que dicha recta pase por otra intersecci¨®n es nula, independientemente de lo grande que sea la hoja. En una hoja real no es as¨ª, obviamente, puesto que la recta tiene un grosor (nada despreciable si hace tiempo que no le sacamos punta al l¨¢piz) y los puntos de intersecci¨®n de la cuadr¨ªcula no son inextensos. Pero, por incre¨ªble que parezca, una recta ideal no pasar¨ªa por ning¨²n otro punto de intersecci¨®n aunque la hoja de papel cuadriculado fuera infinita.

Supongamos que trazamos la recta a partir de un punto de intersecci¨®n A y que pasa por otro punto de intersecci¨®n B; el segmento AB ser¨¢ la hipotenusa de un tri¨¢ngulo rect¨¢ngulo cuyos catetos abarcar¨¢n un n¨²mero entero de cuadraditos, por lo que la tangente del ¨¢ngulo formado por AB con la horizontal ser¨¢ el cociente de dos enteros, o sea, un n¨²mero racional. Pero dicho ¨¢ngulo puede ser cualquiera, ya que trazamos la recta al azar, por lo que su tangente podr¨¢ tener cualquier valor real (el conjunto de los n¨²meros reales abarca los racionales y los irracionales). Y como vimos al hablar del infinito, la infinitud de los irracionales es de orden superior a la de los racionales, por lo que es infinitamente improbable que la tangente del ¨¢ngulo sea racional, o lo que es lo mismo, que la recta pase por otro punto de intersecci¨®n.

Por m¨¢s que lancemos un dado, nunca sacaremos un siete: esto es absolutamente imposible, puesto que sus caras est¨¢n numeradas del uno al seis

Esto no significa que sea imposible que una recta pase por dos o m¨¢s puntos de intersecci¨®n de una cuadr¨ªcula, puesto que, obviamente, puede suceder: probabilidad 0 no es necesariamente lo mismo que imposibilidad propiamente dicha, del mismo modo que probabilidad 1 no es necesariamente lo mismo que certeza absoluta; por eso en teor¨ªa de la probabilidad se usa a veces la expresi¨®n ¡°casi seguro¡± para la probabilidad 1 y ¡°casi seguro que no¡± para la probabilidad 0. Veamos la diferencia con un ejemplo sencillo:

Por m¨¢s que lancemos un dado, nunca sacaremos un 7: esto es absolutamente imposible, puesto que sus caras est¨¢n numeradas del 1 al 6; sin embargo, no es absolutamente imposible que nunca salga un 5, aunque cuantas m¨¢s veces lancemos el dado m¨¢s se acercar¨¢ a 0 dicha probabilidad.

Universo cuadriculado

A algunos lectores el problema de la cuadr¨ªcula los llev¨® a pensar en la paradoja de Olbers, formulada en 1823: si hay tantas estrellas en el universo, ?por qu¨¦ no vemos el cielo nocturno como una aglomeraci¨®n compacta de puntos luminosos?

La astrof¨ªsica moderna permite explicar la paradoja de distintas maneras en funci¨®n del modelo de universo contemplado (Mandelbrot, por ejemplo, apela a una hipot¨¦tica estructura fractal del cosmos). Pero imaginemos que el universo fuera una versi¨®n tridimensional de nuestra cuadr¨ªcula, con una estrella en cada punto de intersecci¨®n de una inmensa estructura c¨²bica (o cubicular, para ser m¨¢s preciso). ?C¨®mo ver¨ªamos el firmamento si vivi¨¦ramos en ese universo ¡°cubiculado¡±?

Carlo Frabetti es escritor y matem¨¢tico, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado m¨¢s de 50 obras de divulgaci¨®n cient¨ªfica para adultos, ni?os y j¨®venes, entre ellos Maldita f¨ªsica, Malditas matem¨¢ticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.